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-1- 古时，数学内的主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算．数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的．这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究． 西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代，初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备．但尚未出现极限的概念． 17世纪在欧洲变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换．在经典力学的建立过程中，结合了几何精密思想的微积分的方法被发明．随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等领域也开始慢慢发展． 在人类历史的长河中，首先认识的是具体的数量（简称量），如两只手，三头牛等，经过漫长的发展阶段，才离开了具体的量，第一次抽象出一般的数，如1,2,3,1/3,1/5等，因此，量是具体的，数是抽象的，所以人类从量到数的认识，第一次飞跃产生了算术。 算术的原义是数和数数的技术和学问，算术是研究数及数集上的去处的数学分支，主要内容有：
人类认识数的顺序：自然数（自然界存在的数）→分数（小数）→零→负数→无理数→虚数；（实数：实实在在存在的数）。 由于人们生活、生产和科学技术以及数学本身的需要，第一次抽象出来的数还不够，如需表示数量关系的一般规律，用数就难于表达，这就必然引起数学史上的第二次抽象，即用字母表示已知数或未知数，字母的引入就产生了代数。 有了字母表示数，代数学中的代数式、方程就出现了； 有了字母表示数，数学中的定理、性质、定律、法则、运算律等都能用公式简洁地表示出来了。 有了字母表示数，使人类摆脱了使用具体数字研究问题的局限，提供了提示数量关系一般性的可能，有助于人类探索事物的内在联系。 代数不仅用数也用字母进行计算，推进了代数问题的一般性讨论，从而更带有普遍数、形式更回抽象，应用更加广泛；代数学的特点是引进了未知数（用字母符号表示数），并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数的值。算术也有未知数，其未知数就是问题的答案，一切运算只允许对已知数进行。 初等代数，又叫古典代数，它是以字母代表数，并以数的运算规律为依据进行，数、字母，及字母间表达式的运算，初等代数主要研究常量，研究一元高次方程的解法问题。
高等代数研究变量，以行列式、矩阵为工具，研究一次多元议程所组成的议程组的解法问题，以及多项式。 初等代数与高等代数也有区别，前者主要研究字母运算规律及其代数方程；后者主要研究多项式和代数方程根的性质等。 代数algebra的发展：文字代数→简单代数→符号代数→高等代数。 I 文字代数，即完全用文字而不有符号叙述。如我国的古算就是用语言文字叙述与解答问题的，使用起来很不方便； II 简字代数（亦称半符号代数），用缩写文字。 III 符号代数，16世纪，符号代数最终由法国数学家韦达完成，再历经几百年，由法国数学家笛卡儿等完成了与现代写法一致的符号代数。 VI 高等代数：行列式、矩阵、多项式； 方程是实行代数中的一个中心问题，含有未知数的等式叫方程。 在初等或高等数学中，函数是一个至关重要的概念。随着常量数学进入变量数学时期，函数的概念产生了。变量的函数是由这些变量与常量所组成的解析表达式。 函数关系的建立：表→图→解析式；
三角函数：是以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系，起源于天文、测量、航海等实际需要。 几何geometry是研究物体形状、大小及位置关系的一个数学分支。“几何”一词是希腊文中“土地”和“测量”二字合成的词，意即土地测量。因此几何学直接源于农业生产的需要。 －2－ 数论 亲和数：公元6世纪，毕达哥拉斯发现了220的所有真因数（包括1）1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110的和是284,而284的所有真因数1,2,4,71,142的和是220,像220和284这样的一对自然数称为亲和数。 1636年，法国人费马发现了第2对：17295和18146； 1638年，笛卡尔：9437056和0363584； 1747年，欧拉一口气找到了20对，后来又扩展到60对； 有了计算机后，目前已找到1000对以上； 完数：等于它的约数之和（不包括自身），如6,28,496. 28（1+2++4+7++14） 质数：只有1和它自身两个约数的整数称为质数；古希腊数学家欧几里得把自然数分成1,质数和合数，并证明质数有无数多个。同时也证明了“任何一个大于1的自然数要么本身就是质数，要么能分解成几个质数的连乘积（合数）”。所以说，质数是构成自然数的“单位”。 约数：是可以将另一个整数整除的数； 超越数：如果一个数不可能是代数方程的解，则该数是一个超越数。 －3－ 相关概念 自然数：全体正整数组成的集合，N={1,2,3,…,n, …} 整数： Z={0, ±1, ±2, ±3, …, ±n, …} 有理数： 虚数： 涉及到 代数：用字母代替数字，从而将算术扩展； 无穷小量 若变量的u的极限为0,则称u为无穷小量。如 分布：在某个试验或场景中事件发生概率的范围，如泊松分布，给出了小概率事件发生r次的概率。 －4－ 最重要的数学方法
4.1 解析几何又叫坐标几何，它是通过建立坐标系，用代数的方法研究几何；图形性质的几何学，是17世纪法国的笛卡尔(Descartes,1596-1650)(图形→方程)和费马(方程→图形)建立的。 笛卡尔解析几何的中心思想：首先建立一种普遍的数学，使算术、代数、几何统一起来，指出平面上建立一种坐标系之后，几何点和实数对(x,y)之间建立一一对应关系，从而可以用实数对(x,y)来描写每个几何点。 笛卡尔把曲线看成动点的轨迹，从而动点坐标(x,y)就成了变量，且它们之间存在一定关系，这个关系就是以x、y为变量的代数方程的每一组解(x,y)都对应于一点。不同的解对应于不同的点，这些点的全体就构成了一条曲线，从而形成了笛卡尔关于几何问题与代数问题可以互相表达的，亦会称函数与曲线的互相对应思想。因此，研究几何问题，可以归结为相应的代数问题，笛卡尔把以住对立着的两个研究对象“数”和“形”起来了，并在数学中引入了变量的思想，从而开拓了变量数学领域，即代数与几何相互取长补短。 4.2 对数是天文学与三角学相结合的产物，英国数学家纳皮尔（1550-1617）为了减轻人们繁重单调的计算，创造了对数这一术语。 利用对数可以将乘法化简为加法，除法为减法，这样就产生了对数表，选择什么样的”a”可以使对数表最简单，是a=10，还是a=1.00001?最后发现a=e=2.71828…所编制的自然对数表是最简单的。 4.3 微积分的出现（古典算术、几何、代数方法，甚至解析几何，对自然界的运动和变化都无能为力，变量和函数的引入，自然科学开始转向研究自然界的运动和变化，以穷竭法（无限逼近的极限方法）先分割后求和求曲边形的面积，先有了积分，然后有了微分。 －5－数学之美
最受数学家喜爱的无字证明 1989年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题： 下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。 它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。 |
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无理数：无法表示成分数的数（如2的平方根）；
的数，它们和实数一起可以构成复数；
拓朴：是几何的一个分支，它所处理的是曲面和一般形状的性质，它不涉及长度和角度的测量，它所关注的是当形状发生变化时，那些不会改变的形状，它允许我们对形状沿任何方面进行挤压和拉伸。迭代：给定一个初始值a，将一个操作不断重复，该过程称为迭代。如，给定初始值3,并重复加5的操作，我们将得到迭代序列：3,8,13,18,
