已知函数a=(cos2x，

已知函数

a

=(cos2x，-1)，

b

=(1，cos(2x-

π

3

))，设f(x)=

a

·

b

+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围．

答案

（1）由题意可得f（x）= a · b +1=cos2x-cos（2x- π 3 ）+1 =cos2x- 1 2 cos2x- 3 2 sin2x+1= 1 2 cos2x- 3 2 sin2x+1 =1-sin（2x- π 6 ），所以其最小正周期为π， 由2kπ- π 2 ≤2x- π 6 ≤2kπ+ π 2 解得kπ- π 6 ≤x≤kπ+ π 3 ，k∈Z， 故函数的单调递减区间为：（kπ- π 6 ，kπ+ π 3 ），k∈Z， （2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x- π 6 ） 因为x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点， 即方程sin（2x- π 6 ）=1+ k 2 在区间（0，π）上恰有两根， ∴-1＜1+ k 2 ＜1且1+ k 2 ≠- 1 2 ， 解得-4＜k＜0，且k≠-3 考点名称：函数的零点与方程根的联系 函数零点的定义： 一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。                函数零点具有的性质： 对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有： (1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正． (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号， 方程的根与函数的零点的联系： 方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点