圆中的分类讨论

圆中的分类讨论

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。

 

一、点与圆的位置关系不唯一性

 

　　例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（   ）。

 

（A）   （B）  （C）或    （D）a+b或a－b

 

分析：P可能在圆内，也可能在圆外。

 

　　　　　       

 

     图1—1                      图1—2

 

 

 

⑴P在圆内时。如图1—1。

 

连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。

 

则PA=a，PB=b  直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）

 

⑵P在圆外时。如图1—2。

 

此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）

 

由⑴⑵可知，应选（C）。

 

　二、弦与弦的位置关系不唯一性

 

　　例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（   ）。

 

（A）7cm    （B）8cm   （C）7cm或1cm     （D1cm

 

分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

 

　　　　　　　　　　　　　

 

             图2—1                         图2—2

 

⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。

 

过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。

 

∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD

 

由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm

 

在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm

 

∴MN= OM－ON=4－3=1 cm

 

⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。

 

此时，MN=OM+ON=4+3=7cm        故选（C）。

 

　　例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。

 

分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。

 

　　　　　

 

⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。

 

连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=

 

∴OC+OD=AC ∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°

 

又OA=OD=AD，∴∠DAO=60°

 

∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°

 

⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。

 

此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°

 

　　三、点在直径上的位置不唯一性

 

　　例4．已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？

 

分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。

 

 

⑴M在半径OA上。如图4—1。

 

连接OC。OC=OA=AB=5cm，  又OM：OA=3：5，∴OM=3cm

 

∵AB是直径，弦CD⊥AB    

 

∴在Rt△OMC中，  MC==4cm

 

又AM=OA－OM=2cm

 

∴在Rt△AMC中，AC===2（cm）

 

⑵M在半径OB上。如图4—2.

 

此时，AM=OA+OM=8cm

 

AC===4（cm）

 

四、弦所对圆周角的不唯一性

 

　　例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（   ）。

 

30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°

（A）       

（B）      分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，

 

因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。

 

如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。

 

 

由AB=0A=OB，∴∠AOB=60°

 

∴∠ACB=∠AOB=30°

 

∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°   故选（D）

 

　　五、圆与圆的位置关系不唯一性

 

　　例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（   ）。

 

5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm

（A）       

（B）      分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。

 

　　　　　　          

 

 

 

⑴两圆外切。如图6—1。AB=8+3=11cm

 

⑵两圆内切。如图6—2。AB=8－3=5cm    故选（D）

 

　　六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性

 

　　例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为           。

 

分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。

 

 

 

 

⑴圆心在公共弦的异侧。如图7—1。

 

连接OA，OA。由圆的对称性，O O垂直平分公共弦AB。 ∴AD=AB=3

 

在Rt△A OD中，OD==4

 

在Rt△A OD中，OD==

 

∴O O= OD+ OD=4+

 

⑵圆心在公共弦的同侧。如图7—2。

 

此时，O O= OD－ OD=4－

 

故这两个圆的圆心距为4+或4－。

 

（发表于《小博士报·中学辅导》）