（2012 北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（

（2012 北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案：解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2），
∴OA=2，OB=1，CN=2，
∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，
又∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAO=∠ACN，
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵

∠ACN=∠BAO ∠ANC=∠BOA=90° CA=AB

，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴NC=OA=2，AN=BO=1，
∴NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，
∴d=-3；

（2）设反比例函数为y=

k

x

（k≠0），点C′和B′在该比例函数图象上，
设C′（m，2），则B′（m+3，1），
把点C′和B′的坐标分别代入y=

k

x

，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，
解得：m=3，
则k=6，反比例函数解析式为y=

6

x

，点C′（3，2），B′（6，1），
设直线C′B′的解析式为y=ax+b（a≠0），
把C′、B′两点坐标代入得：

3a+b=2 6a+b=1

，
∴解得：

a=- 1 3 b=3

；
∴直线C′B′的解析式为y=-

1

3

x+3；


（3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：
设Q是G C′的中点，令y=-

1

3

x+3中x=0，得到y=3，
∴G（0，3），又C′（3，2），
∴Q（

3

2

，

5

2

），
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=

6

x

的图象交于P′点，
若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，
易知点M′的横坐标大于

3

2

，点P′的横坐标小于

3

2

，
作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
∵QF∥P′E，
∴∠M′QF=∠QP′E，
在△P′EQ和△QFM′中，
∵

∠P′EQ=∠QFM′ ∠QP′E=∠M′QF P′Q=QM′

，
∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），
∴EQ=FM′，P′Q=QM′，
设EQ=FM′=t，
∴点P′的横坐标x=

3

2

-t，点P′的纵坐标y=2?y_Q=5，点M′的坐标是（

3

2

+t，0），
∴P′在反比例函数图象上，即5（

3

2

-t）=6，
解得：t=

3

10

，
∴P′（

6

5

，5），M′（

9

5

，0），
则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面．

解析：（1）过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N，由A、B及C的坐标得出OA，OB，CN的长，由∠CAB=90°，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AC=BC，利用AAS得到三角形ACN与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的长，再由C在第二象限，可得出d的值；
（2）由第一问求出的C与B的横坐标之差为3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出C′（m，2），则B′（m+3，1），再设出反比例函数解析式，将C′与B′的坐标代入得到关于k与m的两方程，消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式，设直线B′C′的解析式为y=ax+b，将C′与B′的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出直线B′C′的解析式；
（3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：设Q为GC′的中点，令第二问求出的直线B′C′的解析式中x=0求出y的值，确定出G的坐标，再由C′的坐标，利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=

6

x

的图象交于P′点，若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，易知点M′的横坐标大于

3

2

，点P′的横坐标小于

3

2

，作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等及P′Q=QM′，利用AAS可得出△P′EQ与△QFM′全等，根据全等三角形的对应边相等，设EQ=FM′=t，由Q的横坐标-t表示出P′的横坐标，代入反比例函数解析式确定出P′的纵坐标，进而确定出M′的坐标，根据P′H-EH=P′H-QF表示出P′E的长，又P′Q=QM′，分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，进而确定出P′与M′的坐标，此时点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．

同类试题1：
（2011 吉林）如图，在平的直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线y=

k

x

在第一象限经过点D．
（1）求双曲线表示的函数解析式；
（2）将正方形ABCD沿X轴向左平移____

1

个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中的双曲线上．
解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E．∵直线y=-2x+2与x轴，y轴相交于点A．B，∴当x=0时，y=2，即OB=2．当y=0时，x=1，即OA=1．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD．∴∠BAO+∠DAE=90°．∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAO=∠ADE∵∠AOB=∠DEA=90°∴△AOB≌△DEA∴DE=AO=1，AE=BO=2，∴OE=3，DE=1．∴点D&...

同类试题2：
（2012 泰州）如图，已知一次函数y₁=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2=

c

x

的图象相交于B（-1，5）、C（

5

2

，d）两点．点P（m，n）是一次函数y₁=kx+b的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设-1＜m＜

3

2

，过点P作x轴的平行线与函数y2=

c

x

的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．
解：（1）将B点的坐标代入y2=cx，得c=-5，则y2=-5x，把x=52代入得y=-2，则C（52，-2）将B、C代入直线y1=kx+b得：k=-2b=3；（2）存在．令y1=0，x=32，则A的坐标是：（32，0）；由题意，点P在线段AB上运动（不含A，B），设点P（3-n2，n），∵DP平行于x轴，∴D、P的纵坐标都是n，∴D的坐标是：（-5n，n），∴S=12?n?PD=12（3-n2+...

1.（2011?义乌市）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x.....

2.（2011?柳州）如图，直线y=kx+k（k≠0）与双曲线y=m-5x在第一象限内相交于点M，与x轴交于点A．（1）求m的取值范围.....

3.（2012?厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=k1x+b与双曲线y=k2x（k2＞0）的交点．（1）过点A作AM⊥.....

4.（2011?重庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于二、.....

5.（2012?仙桃天门潜江江汉）如图，一次函数y1=-x-1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=kx图象的一个交.....

6.（2012?百色）如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上，且A（-4，0），B（6.....

7.（2012?安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元.....

8.（2012?烟台）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°．（1）求线段AB的长；.....

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（2012?北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．（1）求d的值；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．