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八年级下册第十八章《平行四边形》简介 课程教材研究所 张劲松 平行四边形是特殊的四边形。本章我们在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形；并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。
本章教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：
18.1 平行四边形 6课时
18.2 特殊的平行四边形 6课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和本章学习目标
（一）本章知识结构框图
（二）教科书内容
平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又在现实生活中具有广泛的应用，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质更加丰富、应用更加广泛。
学生在第一学段已经学习过平行四边形，本学段七年级下册“三角形”一章中研究了多边形及其内角和等内容，包括四边形及其内角和；八年级上册“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等三角形的性质。这些内容是学习本章的重要基础。
本章引言直接进入特殊的四边形——平行四边形：两组对边分别平行的四边形的学习，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形。
“18.1 平行四边形”主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质的基础上，介绍两条平行线间距离的概念；作为性质定理和判定定理的一个应用，探究并证明三角形中位线定理。
“18.2 特殊的平行四边形”首先研究特殊的平行四边形：矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角，或有一组邻边相等的特殊的平行四边形。18.2.1和18.2.2分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理，在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况：同时具有两个特殊条件的平行四边形：正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，或者是有一组邻边相等的特殊矩形。由此得出，正方形具有平行四边形的所有性质。18.2.3给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质定理和判定定理。
本章重点是平行四边形的概念、性质定理和判定定理。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究方法，与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承。两条平行线间的距离相等、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等结论的探索与证明，都以平行四边形和矩形的概念和有关定理为依据，是平行四边形知识的综合应用。另外，平行四边形的性质定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等、两条直线平行或垂直的重要依据。所以掌握平行四边形的概念、性质定理和判定定理，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键。
本章教学内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不大。相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，是本章的教学难点。因为各种平行四边形概念交错，容易混淆。在应用它们的性质定理和判定定理的时候，有时会出现用错、多用、少用条件的错误。教学中要注意结合教科书中的结构图，分清这些平行四边形的从属关系，梳理它们的性质定理和判定定理，克服难点。
（三）本章学习目标
1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系；
2．探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离；
4. 探索并证明三角形中位线定理；
5．通过经历平行四边形以及特殊平行四边形性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力；
6．通过平行四边形以及特殊平行四边形的性质定理、判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力；
7．通过分析平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识特殊与一般的关系。
二、编写时考虑的几个问题
1．突出图形性质定理和判定定理的探索与发现过程，通过合情推理发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想
本章研究平行四边形以及特殊的平行四边形，图形比较多，而且图形的性质定理和判定定理也比较多。教科书呈现这些内容时，注意突出图形性质和判定的探索与发现过程，由观察度量、实验操作、图形变换等方式，通过合情推理发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想。
例如，通过观察度量，猜想平行四边形的对边相等、对角相等性质；通过平行四边形的变形——角的变化，一个角为直角，探究并发现矩形的四个角都是直角、对角线相等等性质；利用菱形的轴对称性，探究并发现菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质。学生通过观察度量、实验操作、图形变换等，运用合情推理，探究并发现结论，形成猜想，进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明，得出图形的性质。把合情推理和演绎推理有机结合起来。
2. 强调从数学本身提出问题，通过图形性质定理的逆命题，提出判定图形是否成立的命题，运用演绎推理证明这些命题的真伪，给出图形的判定定理，进一步明确图形的性质定理与判定定理之间的关系
在平行四边形和特殊平行四边形的判定定理的学习过程中，教科书从这些图形的性质定理出发，通过这些图形性质定理的逆命题，先指出判定图形是否成立的命题，让学生思考其真伪，然后运用演绎推理证明这些命题的真伪，从而给出图形的判定定理。上述呈现方式，由命题及其逆命题角度出发，从数学本身提出问题，在证明判定定理的过程中，使学生进一步明确性质定理与判定定理之间的关系：从命题的角度说，它们之间有时是互逆的。比如，在“18.1.2平行四边形的判定”，一开始，提出“思考”通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。反过来，对边相等、对角相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
3．加强“图形的性质”和“图形的变化”“图形与坐标”等之间的联系，从多种角度认识图形的性质
教科书编写时，重视上述部分内容的联系与综合，上述部分是一个统一的整体，只不过关注的角度不同。例如，利用平移由平行四边形引出菱形的概念，利用图形的旋转发现平行四边形、矩形的性质，利用菱形的轴对称性探究菱形的性质，习题中安排了在平面直角坐标系中表示平行四边形与特殊平行四边形的顶点坐标，利用图形的顶点坐标证明平行四边形与特殊的平行四边形的性质等等都体现了“图形的性质”和“图形的变化”“图形与坐标”之间的联系。
4．强调转化与化归等数学思想方法
转化与化归是数学的常用的方法。在平行四边形的学习中，我们通过连接对角线，把平行四边形化归为两个全等的三角形，运用全等三角形的性质得出平行四边形的性质；在探索并证明三角形的中位线时，又通过构造平行四边形，把三角形中的问题转化为刚刚学习过的平行四边形的性质，利用平行四边形的性质得出三角形的中位线定理；在矩形的性质的学习中，自然推出直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，把直角三角形中的问题转化为矩形中问题，用矩形的性质进行证明，得出结论。教科书反复提到三角形与平行四边形之间的互相转化，通过三角形研究平行四边形，运用平行四边形的性质研究三角形的有关问题。编写时，让学生了解这些思想，引导学生通过添加适当的辅助线，把未知化归为已知，运用已有知识解决问题，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
5．注意与现实生活的联系
平行四边形是人们日常生活和生产中应用较广的一种几何图形，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊的平行四边形。例如，引言、平行四边形、菱形等概念，注意从实际引入；在研究性质和判定方法时，注意它们的实际应用；安排“实验与探究 丰富多彩的正方形”，介绍正方形在实际中的应用；教科书的例、习题中也有一些实际应用的例子等等。这些材料都是从实际中提炼出来的，要通过这些知识的教学，帮助学生运用所学知识解决实际问题。还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。
三、对教学的几个建议
1．关于平行四边形的及特殊平行四边形概念之间属加种差、内涵与外延之间的关系
概念、判断和推理是思维的基本形式，概念是基础，在概念本质属性的基础上进行判断，在概念和判断的基础上进行推理。三者之中，概念是基础。
本章概念比较多，概念之间联系非常密切，关系复杂。由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错，容易混淆，弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要。实际上，有时学生掌握了它们的特殊性质，而忽视了共同性质。如有的学生不知道正方形是矩形，又是菱形，也是平行四边形，应用时常犯多用或少用条件的错误。教学时，不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质，还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质。也就是在讲清每个概念特征的同时，强调它们的属概念，弄清这些概念之间的关系。在原有属概念基础上附加一些条件（种差），通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念；同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上，来研究种概念的性质和判定方法。
弄清这些关系，最好是用图示的办法。例如，教科书给出了平行四边形以及特殊的平行四边形的关系，研究正方形时给出了它与矩形、菱形之间包含关系的图形。为了进一步明确上述概念的属加种差的关系，对上述概念进行分类，也是明确概念的一种逻辑方法。通过分类，可以帮助学生更好地掌握概念，同时也学习一些分类的方法。在本章小结中，教科书通过图示给出了本章主要概念之间的关系，要让学生注意这些概念之间的区别和联系，进一步体会分类的思想。教学中要重视这些图示的作用，让学生弄清这些图形之间的关系。
在弄清这些图形之间关系的基础上，还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系，即内涵越小，外延越大；反之外延越小，内涵越大。例如，正方形的定义中，包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征，它的外延很小，而平行四边形的外延很大。弄清了各种特殊平行四边形的概念，各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了，它们的性质定理、判定定理也就不会用错了。
2．进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力
从培养学生的推理论证角度来说，“平行四边形”这一章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上，进一步巩固和提高的阶段。本章内容比较简单，证明方法相对比较单一，学生前面已经进行了一些推理证明的训练。但这种训练只是初步，要进一步的巩固和提高。教学中同样要重视推理论证的教学，进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力。在推理与证明的要求方面，除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外，还要求学生直接由已有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出。另外，为了巩固并提高学生的推理论证能力，本章定理证明中，除了采用严格规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方法。这种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论。另外也有一些文字叙述的证明题，要求学生自己写出已知、求证，再进行证明。这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加，但能激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，对发展学生的思维能力有好处。教学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展。
另外，在解决有关平行四边形的问题时，反复运用了平行线和三角形的有关知识，因此本章内容是平行线和三角形知识的深入和运用。获得新知识后，要注意运用它们。随着知识的丰富，学生解决问题的途径也增多了。在学完本章后，要引导学生直接运用这些知识解决有关问题，避免再通过添加辅助线转化为平行线或三角形来解决，防止学生总在熟悉的三角形中兜圈子，不会运用新知识来解决问题。
3．注意帮助学生梳理知识内容
这一章的概念比较多，图形的性质和判定方法也比较多。虽然难度都不是很大，但要全部记住这些定理，也要花费许多时间和精力。同概念教学一样，解决这个问题也可以采用图示的办法。学完了一个知识点后，适时引导学生对所学内容进行梳理，画出主要内容的图表，有利于学生掌握图形的概念和性质。例如，可以将正方形的有关内容列成下图：
类似地，我们也可以引导学生列出表示平行四边形、矩形、菱形等图形概念、性质、判定方法等的图表，帮助学生理解这些概念。
4．关注信息技术的应用
在本章的教学中，有条件的学校还要关注信息技术工具的使用。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，让图形“动”起来，许多计算机软件还具有测量功能，这有利于我们在图形的运动变化的过程中发现其中不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质。
例如，本章许多图形的性质都是可以运用信息技术让图形动起来，在运动变化中发现图形的性质的。如平行四边形对角线互相平分的性质，矩形性质的得出，利用轴对称得到菱形的性质，探究中点四边形的性质等。这种运动变化，许多信息技术软件都能实现。另外，许多信息技术软件具有测量功能，可以方便地测出角的大小和线段的长度，这有利于在运动变化中观察它们之间的关系，发现图形的性质等等。 |
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