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主讲人：钟炜（四川省自贡市荣县教研室书记） 时间：2014年10月9日
“初中数学讲座”分为若干个专题,每个专题分为几个版块。本文《对初中数学教材例题习题的处理策略与二次开发》分为五个版块：一是对(初中数学)教材中例题处理的策略研究;二是浅谈如何处理初中数学教材中的例题;三是浅谈初中数学课本例习题的处理与学生思维品质的培养;四是浅谈初中数学教材例题习题“二次开发”的策略;五是初中数学教材例题习题“二次开发”的策略研究。
版块一:对(初中数学)教材中例题处理的策略研究 来源:百度文库 日期:2013年1月9日 例题教学是课堂教学的主要环节,切实加强各种例题的教学,对于学生理解和掌握好数学知识,培养能力,陶冶情操等都具有举足轻重的作用.其实,教材所呈现的很多知识都是死的,例题的处理就是为了使教材知识在教学中活起来,因此,处理好教材中的例题才能有效地引导学生思考,才能使教学顺利进行,才能提高课堂教学的效率.下面是我“如何处理初中数学教材中的例题”的一些做法和体会. 一、处理教材例题的原则 要处理好初中数学教材中的例题,达到自如驾驭教材,提高课堂效率的目的,就要遵循一定的原则： 1.1 目标性原则：每一节课的教学目标是课堂教学的出发点和归宿,在课堂教学中起着导航的作用.教师对例题的“开发”必须围绕教学目标进行,开发后的内容要体现目标性原则,不同的教学目标决定着不同的处理方法. 1.2 科学性和现实性原则：数学知识具有严格的逻辑性和高度的科学性, “开发”的例题必须具有科学性.教师选择和创造的例题要与学生的生活实际相结合,对于某些陈旧的、不适合社会发展的内容要删除,要把某些新进展的、具有时代性的内容编成例题,从而充实学生的学习生活,充实教材内容. 1.3 主体性原则：教师处理例题必须根据学生的具体情况,在内容的呈现形式上要适合学生的年龄特点,满足学生的需要,不同地区、不同基础的学生应该采用不同的处理方式,做到因材施教.处理例题时还要注意培养他们解题的技能技巧,提高他们的数学学习能力,使学生学会学习. 二、处理教材例题的方法 首先要尊重教材,毕竟专家在编写教材时是经过从理论到实践的多重思考与验证的,教材中有许许多多现成的例题,它们能很好地实现教学目标,很好地促进学生的数学学习,对于这类例题,我们可以根据以往积累的成功经验直接传授给学生.当然,在牢牢把握课时教学目标的前提下,可对教材中的某些例题作出合理 “开发”.处理后的例题是教师心中的教材,这教材不是原教材的复印,而是根据教学的目标任务、教材内容以及学生的实际情况、运用恰当的教学方法与教学策略进行优化整合的.只有这样经过优化整合的教材,才能使它有效地内化为学生的知识、能力与观念.例题的再次“开发”,往往能促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”的方向发展,从而使学生达到“举一反三”效果. 我们就如何“开发”例题方面总结出以下几种方法： 2.1 不改变例题改变教学方法与教学策略 在平时的的教学中不但要积累成功的经验,还要总结失败的教训,并以此为鉴,才能使自已的教育教学水平得到提高.有时即使不改变例题而改变教学方法与教学策略,也能使我们的课堂教学起到事半功倍的效果. 2.2 利用教材中的例题改动一些小知识点 这是教师在上课时常用的方法,成特别是在讲解计算型的题目时,如：合并同类项时,举例2a+3a,我们给改成5a+6a或7b+2b,继而再改成-2a+3b,然后再总结合并同类项的规律,这对教学效果是没有任何影响的,同时这样随意改动,自已也觉得得心应手,会给自已增加自信心,自然也就提高了课堂教学效果. 2.3 改变题目的背景 有时为了激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛,不要忽视了课堂情感的投入,在上课时可以对题目的背景进行适当更改.教师有意识地进行题目背景的更换,使知识溶入在不同的背景中,选择的背景是学生熟悉的事物和情景,这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲.让学生在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地,使数学课程更具现实性. 2.4 拓展例题的知识范围 有的例题仅仅针对一个知识点,解决一个问题,但在实际教学时有时可能会根据实际情况,需要“借题发挥”,对例题的知识范围进行拓展.例如在学习“变化中的三角形”这节课时,分析了三角形的面积公式S＝ah÷2中,“高h为6不变,底a变化时,有S＝ah÷2＝6a÷2＝3a,点明变量S怎样随着自变量a的变化而变化.在学生掌握了这个例题之后及时渗透行程等常用公式中因变量怎样随着自变量的变化而变化的例子,教学效果非常好. 2.5 创造全新的例题 教材处理过程中不能只盯着课本中的题目,应选择和创造一些与学生的生活实际相结合的例题,增加一些书本上没有但是今后又要用到的知识,以促进学生今后的发展.如在上因式分解时可增加“十字相乘法”等的相关例题,二次函数补充“交点式”等等. 三、“处理例题”的实践阶段 要开展好“处理例题”这项活动,就要关注好以下几个阶段： 3.1 例题的选取阶段 题目涉及的知识要点应覆盖本节课的内容,有一定的代表性；所选例题要能体现“通法通用”, 遵循思维的认知规律,从易到难,循序渐进.所以所选例题不要一心追求偏、怪、难题,也不要贪多,要重视一题多解、一题多变,注重培养学生解题的能力. 3.2 指导学生分析阶段 教师引导学生研读例题,启发学生积极思考例题中的有关问题,包括看懂例题、理解概念、分析问题、得出解题思路、完善解题步骤. 3.3 教师的讲解阶段 数学例题的讲解分计算题、作图题、证明题等,对不同类型的题目一般采用不同的方法,即使是同一种类型的题目也可以用多种思考的方法, 3.4 提高总结阶段 例题解答之后,要引导学生反思解题过程,总结解题的经验教训,对一些常用的教学方法,解题策略予以归纳概括,提示学生今后注意运用.对于学生易错又不容易改正的习题要引导学生做好用好错题集.
版块二:浅谈如何处理初中数学教材中的例题 作者:江苏省兴化市临城中心校初中部 王爱荣 来源:百度文 日期:2013年10月31日 摘要：例题教学是初中数学课堂教学的重要环节。不少教师对教材的认识和理解不够，往往忽略例题的典型性和示范性。例题教学教法单一，讲解刻板，缺乏变通、创新，失去了例题教学应有的功能。切实加强各种例题的教学研究,处理好教材中的例题才能有效地引导学生思考,才能使教学顺利进行,才能有效提高课堂教学的效率。 关键词：例题教学 教学研究 开发改编 题后反思 提高效率 众所周知，例题教学是初中数学课堂教学的重要环节。不但为学生提供解决数学问题的范例，揭示数学方法，规范思考过程，而且为其数学方法体系的构建提供了基石。对于学生理解和掌握好数学知识,培养能力,具有举足轻重的作用。然而，不少教师对教材的理解不够，往往忽略例题的典型性和示范性，轻描淡写，一带而过，盲目选择一些难题、偏题，进行题海战术，导致学生恐惧、厌恶数学，适得其反。也有不少教师例题教学教法单一，照本宣科，讲解刻板，缺乏变通、创新，失去了例题教学应有的功能。切实加强各种例题的教学研究, 处理好教材中的例题才能有效地引导学生思考,才能使教学顺利进行,才能提高课堂教学的效率。下面谈谈我对“如何处理初中数学教材中的例题”的一些做法和体会。 一、要尊重初中数学教材 教材的编写时是经过从理论到实践的多重思考与验证的，凝聚专家学者的经验与智慧。教材中有许许多多现成的例题,它们能很好地体现教学目标,促进学生的数学学习。对于这类例题, 不能简单的模仿、记忆，追求解题的难度和技巧，应着重让学生体会例题蕴含的数学基本思想和方法，与本节课教学目标之间的内在联系。不仅要让学生知其然，还要知其所以然。 二、将初中数学教材中的例题进行适当的“开发” 有些例题的背景比较抽象，缺乏生活气息，如果将例题进行适当的“开发”，改编成与学生密切相关的生活情境，不仅可以激发学生的参与热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力．处理后的例题是根据教学的目标任务、教材内容以及学生的实际情况、运用恰当的教学方法与教学策略进行优化整合的新教材。只有这样经过优化整合的教材,才能使它有效地内化为学生的知识、能力与观念。例题的再次“开发”,往往能促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”的方向发展,从而使学生达到“举一反三”效果。以下是我在例题“开发”方面做了一些尝试： 1、改变教学方法与教学策略 在平时的的教学中不但要积累成功的经验,还要总结失败的教训,并以此为鉴,才能使自已的教育教学水平得到提高。有时即使不改变例题而改变教学方法与教学策略,也能使我们的课堂教学起到事半功倍的效果。 2、利用学生的典型错误，分析例题考查知识和技能，自我设计同类问题 在先学后教模式下，学生自主学习的过程中，在自我的认知和理解的基础上完成相应的例题和习题，学生往往会出现一些典型错误。引导学生分析错误产生的原因，运用相应知识可能存在的问题，要求学生自我设计同类题目，加深了对这类问题的认识和理解。长期以往学生就会觉得得心应手,提高了自主学习的能力，增加自信心,自然也就提高了课堂教学效果。 3、改变题目的背景 有时为了激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛,不要忽视了课堂情感的投入,在上课时可以对题目的背景进行适当更改。教师有意识地进行题目背景的更换,使知识溶入在不同的背景中,选择的背景是学生熟悉的事物和情景,这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲。如数据集中趋势中的例题，过于陈旧，缺乏典型性。2008年北京奥运会射击比赛中埃蒙斯的真实案例，最后一枪射到邻座的枪靶上，第10发成绩为0，如何评价这位运动员的射击水平？情景真实，离学生生活很近，例题的改编激发了学生的学习兴趣，收到了良好的教学效果。 4、拓展例题的知识范围，触类旁通，举一反三 有的例题仅仅针对一个知识点,解决一个问题,但在实际教学时有时可能会根据实际情况,需要“借题发挥”,对例题的知识范围进行拓展。例如在学习方程、不等式和函数知识，如何理解三者之间的关系，可以结合具体的例题，配合图像让学生理解函数的对应的本质，函数是整个过程中的对应，不等式是某个范围内的对应，而方程式是某个瞬间的对应，加深学生对三者之间的关系的理解。 三、注重初中数学教材例题教学的解后反思 注重题后反思，积累经验，总结规律。叶圣陶先生说过:“什么是教育？简单地说教育就是培养习惯。”然而，教师常常把例题解答完就了事，不对例题进一步挖掘，题后不引导学生对例题题型、思想方法、表述等进行反思，学生得不到解题反思的熏陶，没有题后反思的意识，无法养成题后反思的习惯。所以例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。可以从以下两个方面进行尝试： 1、在解题的方法规律处反思。善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。 2、在学生易错处反思。学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果! 如果我们的例题教学能抓住这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固法则要好得多，而这一点恰恰容易被我们所忽视。 总而言之，数学题型千变万化，教师所选的例题题型也应随之变化多端。例题的恰当与否直接关系到学生对一节课的吸收程度，并且对他本身思维的培养，智力开发都是非常重要的，作为数学教师，切不能简单粗暴的处理例题，随意的乱举偏题、难题进行教学的拓展。教师应认真备课，选好例题，为例题教学作好充分准备，发挥例题应有的功能，去引导学生，去挖掘学生的潜能，从而开发他们的智力，提高学生学习的效率。
版块三:浅谈初中数学课本例习题的处理与学生思维品质的培养 来源:中学数学天地新浪博客 日期:2012年1月30日 初中数学新课改的目的就是提高数学教学的质量，要提高数学教学的质量，必须使学生拥有一个清醒和善于思维的头脑.在课堂教学中，教师若能对课本例习题进行适当的深化和改革，恰当地进行引深与推广，通过对问题的思考、推理、论证、变换等，不仅能开拓学生的解题思路，激发学生的学习兴趣，而且还能有效地训练学生的思维能力，培养学生的思维品质，提高数学课堂教学的质量，把教改推向深入.下面结合自己的教学实践谈谈几点粗浅认识. 一、一题多解，培养学生思维的发散性 “一题多解”有利于引导学生沿着不同的途径去思考问题，由此可以产生多种解题思路.通过“多解”并比较，找出既新颖、独特，又省时、省工的“最佳解”时，才能调动学生学习的积极性和主动性，激发学生的求知欲，才能培养学生的发散性思维. 例如，证明等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.（苏科版九上） 我在讲解时，引导学生从以下四个方面分析：（1）平移一腰，转化为平行四边形和等腰三角形（2）过上底的两个端点作高线，转化为两个全等的直角三角形和一个矩形（3）延长两腰，转化为两个等腰三角形.这几种证法分别用到了全等三角形的对应边相等、等角对等边、平行四边形的性质、等式的性质等，体现了知识的纵向、横向的结合；辅助线的添设也各有特色，展示了解决梯形问题的一般规律.这样，对强化学生的解题技能、优化学生的思维品质具有重要的意义. 二、一题多变，培养学生思维的广阔性 思维的广阔性，也称思维的广度，是指思路宽广，富有想象力，善于从多角度、多方位、多层次去思考问题，认识问题和解决问题.教师在对例题进行分析和解答后，若注意发挥例题以点带面的功能，有意识地在例题基础上进一步引伸扩充，挖掘问题的内涵和外延，指导学生对新问题的探讨，这对培养学生思维的广阔性是大有裨益的. 例如，我在评讲苏科版九上《圆》复习题9时，我又把该题改编了化为： 已知：MN是⊙O的切线，切点为C，AB是⊙O的直径.求证：点A、B到MN的距离之和等于⊙O的直径. 此题看似一道很普通的习题，但经过一番探索，不能发现它有丰富的内涵. （一）挖掘证明 思路1：连OC，证明半径OC是直角梯形ABED的中位线. 思路2：连AC、BC，过C作CG⊥AB，证明△ADC≌△ACG，△BCG≌△BEC，得到AD＝AG，BE＝BG. （二）挖掘联系 从图中不难发现：OD＝OE，AC、BC分别平分∠DAB、∠EBA，因此，本例实质上是下面习题的再现： （1）求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等 （2）设AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和⊙O在点C的切线垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB. 又因为AB＝AD＋BE，所以它是下面习题的一种特殊形式： （3）已知：梯形ABED中，AD∥BE，AB＝AD＋BE，C为DE的中点， 求证：AC、BC分别平分∠DAB和∠EBA. 这样通过典型范例的思路剖析，使学生牢固掌握了基本题型及解题规律，揭示了知识间的内在联系，前后贯通，引伸拓宽，使学生的思维活动始终处于一种由浅入深，由表及里，由一题到一路的“动态”进程之中，形成了一条较为完成的知识链，而且能充分调动学生的学习积极性和主动性，激发学生探求知识的欲望，发展了学生思维的广阔性. 三、一题带类，培养学生思维的深刻性 根据考查同一知识点的需要，可以从不同的角度、结合不同的数学模型作出多种命题.因此，在大量的习题中，有不少题目存在共同的解题规律.我在处理这类习题时，不仅仅满足于具体的方法，而是透过现象抓住本质，讲一个例题得一种方法，达到解一题得一法、明一类的目的，从而培养学生深刻性思维的能力. 四、留因探果，培养学生思维的独创性 课本上习题具有很大的潜在价值.我在评讲时，常常创设新颖情景，展示思维的时间和空间，使学生在积极的探究中学到知识，发展学生思维的独创性. 例如：教学苏科版九上“切线长定理”时，我设计了如下的问题：已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AB与OP相交与点C，根据已知的条件，写出四个或四个以上不同类型的结论. 综上所述，课本上的不少例习题内涵丰富，对强化双基，开发智力，培养能力有极大的潜在价值.在课本例习题的教学中，教师若能根据题目的特点，挖掘其丰富的内涵，多给学生创设思维活动的空间，引导学生进行适当的观察、比较、猜测、引伸、拓宽等思维训练，这不仅能把已学知识点串成线，线联成网组成知识面，使学生解一题明一路，提高学习的效率；而且还可以有助于发展学生思维的广阔性、培养学生思维的深刻性、提高学生思维的敏捷性、形成思维的创造性，能使学生形成良好的思维品质.
版块四:浅谈初中数学教材例题习题“二次开发”的策略 作者：admin 来源：中国原创论文网 日期：2014年3月2日 在新的课改程理念下，数学教材不再被看成像“圣经”一样，是教师上课诵读、宣讲的对象，而是看成教学的材料和学生主动建构意义的对象。这就要求教师在教学设计中，结合学生的认知特点和心理规律，有效地分析教材、整合教材、创生教材，对教材进行再加工、再创造，使教材发挥其课程资源的应有功能，以提高课堂教学实效。二次开发教材的重要原则是，做到既尊重教材又超越教材，促使教材真正成为师生共同成长的有效载体。 如何进行例习题再利用教学，真正发挥例习题应有的教学价值呢？我在课堂教学中，注重课本例习题的探究，在探究课本例习题的过程中让学生去发现、思考、释疑。现例举例习题常见设计进行说明： 1、增加或改变知识点，把结论适当延伸。 例题1：如图⊙o1和⊙o2外切于点A，BC是⊙o1和⊙o2的公切线，B、C是切点，求证：AB⊥AC。 分析：讲解例题时，可启发学生用多种方法进行求证，特别强调“切线与过切点的半径垂直”，为解决问题做好知识准备。 再利用设计1：如图，延长例题1中的BA交⊙o2于E，延长CA交⊙o1于D，连BD、CE。 求证BD2=DA·DC。 分析：本题实际上是例题1的延伸。这道题的设计源于课本又高于课本，有助于考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力。本题的结论可启发学生利用例题结论结合切线的性质通过相似三角形求证。 再利用设计2：如图，在上题基础上，过点D作⊙o2的切线DF，切点为F，求证：DB=DF。 分析：对于这一问学生可能不易找到正确的解题途径，但通过分析，利用第一问结论再结合切割线定理便可得到证法。并由此归纳：证明两条线段相等除运用全等三角形、等腰三角形的有关知识外，还可以运用比例线段的知识进行分析求证。 从不变中求变化，从变化中求规律，可以培养学生探究数学问题的能力。 2、变换例题中的条件或结论 例题2，如图所示，某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用一堵旧墙，其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏.设每间羊圈的长为x（m），三间羊圈总面积S； （1）写出S与X之间的函数关系及自变量x的取值范围。 （2）请计算，x取何时，面积S最大，最大面积是多少？ 分析：本题求解时，学生很容易根据题目中的条件写出S与X之间的二次函数关系及自变量的取值范围，并根据二次函数的性质得出面积S的最大值。 再利用设计1：在上题基础上，增加旧墙的长度为8m，所求解的问题不变。 分析：本题中自变量X的取值范围因旧墙长度限制，由原来的0<X<6变化为4≤X 再利用设计2：已知二次函数y=x2+2x+a（0≤x≤1）最大值为3，求a的值。 3、改求证题为探索题。 例题3，已知如图，BE、CD为△ABC的高，连结DE。 求证：∠ADE=∠ACB。 分析：本题欲证的结论为两角相等，学生很自然去证两角所在的两个三角形相似，证明过程中，学生往往难以找到相似的条件——夹公共角的两边对应成比例。 再利用设计：把原题的结论开放，让学生探究图中共有几对相似三角形，并写出这几对相似三角形。 分析：学生在探究图中相似三角形过程中，启发学生去发现过程中的结论，从而有助于学生归纳运用相似三角形证明两角相等、线段成比例等结论时的常规解题思路。 4、代数与几何知识相互渗透。 例题4：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水。修在河边什么地方，可使所用的水管最短？ 分析：这是一道重要的基本题，其解答并不难，如果对其进行引申和综合，可加大其广度和深度。 再利用设计：如图，在直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为（4，— ），且在x轴上截得线段长AB=6。 （1）求二次函数的解析式。 （2）在y轴上作出一点（不写作法）使PA+PC最小，并求P点的坐标。 分析：本题的第（2）题由已知A、C两点在直线Y轴的同侧，利用课本例题的思想方法，求出点A关于Y轴的对称点A/，再求得直线A/C的解析式，直线A/C与Y轴的交点即为所求点P，从而求解。
版块五:初中数学教材例题习题“二次开发”的策略研究 作者:浙江省富阳市新登镇中学 卢华伟 来源:百度快照 日期:2011年8月21日 (注:本文在转发中丢失了一些数据和图表,各位读者可到网上查阅原文) 摘要:以数学课程标准为依据，就初中数学例题、习题教学的现状，进行列举和分析，并结合教学实践中的相关案例，紧紧围绕教材例题、习题 “二次开发”的策略研究，运用例题、习题题目背景 “二次开发”的策略，例题、习题题目条件与结论 “二次开发”的策略，例题、习题题目基本图形 “二次开发”的策略进行引导，寻求改进例题、习题处理的方法，以发挥其潜能． 关键词:初中数学 例题习题 教学现状 二次开发 策略研究 一、问题的提出 教材的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材内容进行适度增删、调整和加工，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。教材的“二次开发”一方面服务于教师本人个性化的教学需求，体现出教师对教材内容的理解与阐释;另一方面也使原有的教材更适合于具体的教育教学情景，服务于学生的需要，有利于学生将教材内容转化为自己知识结构的组成部分. 教材的例题、习题是教材的重要组成部分，因此，对例题、习题的“二次开发”也就成为教材“二次开发”的重要部分. 笔者认为教材例题、习题的“二次开发”可以重点对题目背景、题目条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“二次开发”. 现实教学过程中，教师对教材例题、习题 “二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界．正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力．”为此，笔者予以关注并参阅对例题、习题处理的相关知识“借题发挥”，结合案例分析，紧紧围绕新课程标准标的要求进行探究，以期促进学生学会从多层次、广视角，全方位的认识、研究问题，从而提高课堂教学的有效性． 二、数学课本例题、习题的教学现状及归因分析 数学课本上例题、习题是编者根据新课标的要求，进过深思熟虑安排的，具有很强的探究价值．教师对例题、习题进行“二次开发”，能提高学生的数学素养和解决问题的能力． (一)数学课本例题、习题的教学现状 在数学教学中，例题与习题的教学是教学环节中的不可缺少的部分，这就要求教师能很好的处理例题、习题的教学，以促进学生更好的发展．可是在通常的教学中教师是否真正加以体现和落实呢？首先看一节数学课例题、习题教学片段实录： 有一块三角形余料ABC，它的边长BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB 、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？（浙教版《数学》九（上）P118页4．4相似三角形的性质） 师：请把题目读一遍． 生：看题目，读内容． 师：哪位同学来讲讲？ 生：同学们在思考中． 师：既然大家没有思路，那我给大家讲讲． 生：抬头听老师讲解． 师：讲解完毕后，问：“懂了吗？” 生：懂了． 师：好，那我们看下一个题目． ……………… 师：课后把课本后面的习题完成，到时我们来对答案． 生：嗯． ……………… 在讲解例题时，教师经常采用的几种教学方法：（1）老师读题，读好后开始分析，然后问学生听懂了没有，在学生部分肯定，部分无语中结束例题的讲解．（2）教师读题后，给学生时间思考，由有思路的学生讲解思路，在老师帮助下完成解答．（3）教师认为例题太过简单，所以用其他的题目代替，要求学生课后自己去看一下例题．（4）用别人做好的课件，根本不知道哪个是例题． 教师对课本习题更加容易忽视，通常的方法是（1）布置习题，没有下文（2）布置习题，之后快速校对答案． 教师在教学的过程中注重了教学环节的“流畅”，教学成为低效或无效的“走马观花”式的逛街场．长此以往，课堂教学模式基本上是灌输—接受．教师往往会比较注重教学的结果，强调题海战术。所以在数学教学课堂中经常听到教师一言堂的声音，能听到学生的声音也无非是：“嗯”、“对”、“懂了”“知道了”等一些简单的字词，教学的效果可想而知：教师教的累，学生学得苦，难于拓宽学生的视野、贯通学生的思想，容易抑制学生主动性和创造性的发展．教师对例题、习题简单操作也给学生起了一个示范作用，学生不会去重视课本例题和习题，仅仅把它们当成自己在完成众多题目中的一个，不会去设疑、提炼、再创造，学生在平时面对的每一个题目都是那么的陌生，感悟不到题目之间的紧密联系，只能在苦学、苦练中学习数学．教师没有给学生提供较多的思考、动手和交流的机会，这对学生的发展是不利的． （二）例题、习题教学现状的归因分析 1．新课改下，教师角色转变不到位 《数学课程标准》指出数学课堂学生的学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与勤于动手成为教学过程中教师的共识．课堂的组织形式也在一定程度上发生了变化，尽可能多地组织学生运用合作、小组合作等方式，在培养学生合作与交流能力的同时，调动每一个学生的参与意识和学习积极性．新课程标准指出：教师应引导和帮助学生主动去从事观察、猜想、实验、验证、推理、交流等数学活动．从而使学生自己形成对数学知识的理解和有效地学习策略．教师充当的角色是组织者、合作者、引导者.正因为教师对新课程下的角色转变不到位，才会出现一言堂的教学方式，忽略学生的主体地位，只要求把例题讲完，布置好习题就算完成教学任务. 2．教师对课本例题、习题的“二次开发”意识不强 虽然在传统的课堂教学情境中，教师对教材也不是完全的照搬照抄，为了达到有效传递学科内容的目的，他们对教材内容总是作或多或少的处理，但是，这种处理往往局限于数量的增减或局部内容的处理.教师只是外在于他们的课程的执行者，是“工匠”。在教学中对例题、习题多少也有点动作，但是，这种动作只是基于经验和直觉，远未达到理性和自觉的认识。新课程倡导教师创造性地和个性化地运用教材，这意味着教师不再是外部课程的被动消费者，而是积极的开发者。教师对教材重要组成部分的例题与习题的“二次开发”，就能不断丰富着自己的课程知识，创造着新的课程经验，成为自己专业生活的主人，同时才能真正体现新课标的要求. 三、初中数学教材例题、习题 “二次开发”的策略研究 数学课本中的例题、习题是课本内容的重要组成部分，既是对课本知识的诠释，也是对某些方法的演示，所以进行课本的例题、习题的“二次开发”，对于理解课本知识的内涵，掌握基本解题方法有着重要的意义．笔者结合平时对例题、习题的“二次开发”提出策略 (一)例题、习题题目背景“二次开发”的策略研究 【案例】 如图，小亮欲测量一电线杆AB的高度，他站在该电线杆的影子上前后移动，直到他身体影子的顶端正好与电线杆影子的顶端重叠，此时同伴测出小亮与电线杆距离BE=12m，小亮的影子长CE=4m．已知小亮的身高DE=1．7m （1) 图中△CDE和△CAB是否相似？请说明理由; （2） 求电线杆AB的高度．（浙教版九年级上册4．4-2作业本29页第3题） 【分析】本题知识点（1）相似三角形的判定；（2）相似三角形的性质． 1.改变遮挡物 （1）遮挡物为竖直的平面 小亮和他的同学利用影长测量旗杆高度如图，1m长的直立竹竿的影长为1．5m．测量旗杆落在地上的影子为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度． 【分析】通过把太阳光看成是平行光的原理,构造相似三角形解决这类问题． （2）遮挡物为斜坡 小亮在下午实践活动课时, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的斜坡E处,测得在地面上的影长BD=20米,DE=2米,坡面与水平地面的夹角为30°．同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为2．6米，根据这些数据求旗杆AB的高度（结果 保留两个有效数） 【分析】增加三角函数和勾股定理的知识,使学生把相关知识贯穿在一起,及时巩固． （3）遮挡物的面数增加 小亮在下午实践活动课后, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗 杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的平地C处,测得在平地上EC=2米,地面上的影长BD=20米,DE=4米,坡面与水平地面的夹角为30°． 同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为3．2米，根据这些数据求旗杆AB的高度（结果保留两个有效数） 【分析】增加难度,原理不变,熟练地应用知识和技能,准确 把握解题方向． （4）无遮挡物 小亮在下午实践活动课, 测量东教学楼前水杉树的高度．如图,当太阳从西照射过来时,小树AB的顶端A的影子落在司令台的斜坡处,测得在地面上的影长BD=2米,坡面上影长DE=4米;同一时刻一根长为1米的直立竹竿的在平地上影长为2．6米，在坡面上影长3米为根据这些数据求树的高度．（精确到0．1米） 【分析】本题利用地面影子在物高上找对应点把物高分成几部分，构造相似三角形解决问题．这样的解决方法比较贴贴近生活实际，使思路非常明确． 2．移动参照物 （1）参照物的移动（1） 晚上，小亮晚自修结束回寝室途中，走到C处时，发现在点B上方的路灯A照得自己的影子CD的长为2米；继续往前走4米到达E处时，这时自己的影子EF长为4米 ,已知小亮的身高为1．6米 ，路灯的高度等于多少？ 【分析】这类题目有变量和不变的量，注意挖掘里面的等量关系．根据相似三角形对应边成比例，并利用等量代换求解． （2）参照物的移动（2） 小亮探究影子长度的变化规律，当他走到离路灯2米处时，其影子的顶点标记为H1，此时 影长为 米；当他继续走到H1时，其影子的顶点标记为H2，此时影长为 米；当他继续走到H2时，其影子的顶点标记为H3，此时影长为 米；…按这样的规律继续走当他走到Hn,其影子的顶点标记为Hn+1,此时影长为 米． 【分析】对题设条件进行变化，克服学生思维定势．充分渗透数学猜想和归纳法，培养学生探究能力和发散思维能力． 教师有意识的进行题目背景的更换，将知识融入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和具体的情景，让学生在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地，是数学课程更具现实性． (二)例题、习题题目条件、结论“二次开发”的策略研究 【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题） 已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且AB=BC,E为弧BC上的一点，求AE=BE+CE． 【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利用截长补短的解题方法． 1.一题多解 （1）利用截长方法的方法解题 解析：在AE上取点F，使得AF=BE, ≌ (SAS) ∴CF=CE ∴ 是等边三角形 ∴EF=EC AE=AF+EF ∴AE=BE+CE （2）利用补短的方法解题 解析：延长EB至点F,使BF=EC, ≌ (SAS) ∴ AE=AF ∴ ∴ 是等边三角形 ∴AE=EF=BE+BF 即AE=BE+CE （3）利用旋转的方法解题 解析：将 顺时针旋转 ，则 ≌ ∴ 是等边三角形， (圆内接四边形对角互补) ∴ 即点F、B、E三点共线 ∴AE=EB+BF 即：AE=EB+EC
（4）利用平行的方法解题 解析：过点C作AE的平行线CF交圆于点F，连接AF.
（5）利用托勒密定理解题 解析：利用托勒密定理可得 是等边三角形 ∴AB=AC=BC ∴BE+EC=AE 新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”．在数学教学中离不开习题讲解，通过一题多解使学生加深知识的理解与内化，培养学生思维的灵活性、创新性，提高学生解决实际问题的能力． 2.一题多变 变式1：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且AB=BC,E为圆上不同于A、EB、C的任意一点，求AE=BE+CE． 【分析】本题关键是E点位置的不确定性，故在解决此题时 必须进行点E位置的讨论，用到分类讨论的思想． 变式2：已知如图， 是等边三角形， ,求AE=BE+CE 【分析】把圆的条件去掉后，还是可以用截长补短的方法解决． 变式3：已知如图， 是等边三角形， ，A,B,E,C四点共圆吗？
变式4：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且AB=BC,E为圆上不同于A、B、C的任意一点，，请你写出AE、BE、CE之间的数量关系？ 解析：设 ,
【分析】通过探究我们可以发现 是一个定值． 解析：连结AC, , ，同理可得 所以 ,而d等于正方形边长的 倍，即为定值． 变式6：由变式5、变式6你能得出一个什么结论？ 结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为定值． 数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式．在数学教学中进行数学“变式”练习帮助学生多角度地理解数学方法、化归数学方法，使学生从“知识性”向“智力型”转换“教师讲例题，学生仿例题”的公式化的教学，阻止了学生思维的发展．所以在平时的例题和习题的教学中，应紧密结合例题、习题进行有目的、多角度的变式训练. 教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变．同时引导学生去探索数学问题的规律性，能够在生活中学以致用，增强学习的信心和兴趣． （三）例题、习题题目基本图形 “二次开发”的策略研究 任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂的图形中的基本图形“离析”出来，是解决问题必须具备的重要功能之一，而这种“离析”是在真正理解基本图形的基础上才能进行的． 1．重视基本图形 （1）基本图形的识别与性质 【案例】试题来源（浙教版《数学》九（上）P118页4．4相似三角形的性质） 有一块三角形余料ABC，它的边长BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB 、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？ 【分析】此题涉及的知识点为三角形的相似，以及三角形相似的性质．基本图形为：三角形里面有一个正方形，且正方形的四个顶点分别在三角形的三边上．性质：相似三角形对应边上的高线之比等于相似比 解析:设正方形边长为x,△APN∽△ABC， , ，得x=48 （2）基本图形在纯数学题中应用 如图，在Rt △ ABC中， ,AC=4,BC=3． （1）如图1，四边形DEFG为△ ABC的内接正方形，求正方形的边长． （2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC，求正方形的边长． (3)如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC，求正方形的边长． (4)如图4，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC，求正方形的边长．
【分析】此题主要还是考查基本图形及其性质，第4小题变成了一个探究规律的题目． （3）基本图形的在生活题中应用 小明在出墙报时，需要长48cm、宽4cm的彩色纸条镶边，现有如图一张三角形彩色纸零件，其中BC=25cm,BC边上的高为20cm，给出一种裁纸方法：将AB、AC分为五等分，然后如图连接两边的对应的点，并以这些连接线为一边作矩形，剪出这些小矩形纸条，用来为墙报镶边，问：这种方法能满足镶边需要吗？请说明理由． 【分析】此题为生活实际题，但图形是基本图形 2．重视对基本图形的变式 【案例】已知：如图，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．求证： △CAB≌ △ECD． （选自七年级下 1．5全等三角形（3）作业题 ） 【分析】此题所涉及的知识点为：三角形的全等． 解析： ∴△CAB≌ △ECD （1）对基本图形变式1 弱化条件：AC=CE（线段相等）……结论由三角形全等弱化为三角形相似 如图，在Rt△CAB和Rt△ECD中，点D 在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°． 求证： △CAB∽ △ECD． 解析： ∴△CAB∽ △ECD 应用：如图,正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B,C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm,CQ的长为ycm．(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；(2)当 cm时，求x的值． 【分析】此题能够在复杂图形中找出基本图形，则解决就不成问题了． （2）对基本图形变式2 弱化条件：“直角” 如图：在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,则△ABC≌△CDE． 解析： ∴△ABC≌△CDE 应用： 如图，△ABC为等边三角形，点D,E,F分别在边BC,CA,AB上，且△DEF也为等边三角形．除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论； 解析： ∴△BDF≌△CED ∴BF=CD,BD=CE （3）对基本图形变式3 同时弱化条件：“线段相等”和“直角” 如图，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC∽△CDE． 解析： ∴△ABC∽ △CDE 应用：如图，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B,C）,过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． (1)求证：△ABD∽△DEC;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式． 解析：可证明△ABD∽△DEC（AA），利用相似三角形对应边成比例得出 在基本图形的变式中，学生往往难以理解变式后的图形与基本图形之间的关系，尝尝会将基本图形的本质特征与所给问题的个别特征相混淆．为了排除非本质属性的干扰，在教学的起始阶段，除利用基本图形外，还应有意识地运用变式图形，让学生理解． 四、结论 1．教材例题、习题的“二次开发”有利于提高数学教学的有效性 苏霍姆林斯基说过：“如果你追求的只是那种表面的，显而易见的刺激，以引起学生对学习和上课的兴趣，那你就永远不能培养起学生对脑力劳动的真正热爱”．研究表明，大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能让学生有效地进行学习．教师对数学课本例题、习题的“二次开发”将大大提高数学教学的有效性．虽然我们经常一节课只研究一个问题（进行一题多解和一题多变），有时到下课了还没有研究结束，但这样的教学效果特别好，学生得到的是思想方法，是情感体验，是个性发展，学生会学，乐学，对数学知识理解深刻，独立性高，知识迁移能力强．爱因斯坦说过：“学校教给学生什么样的知识最有价值？那就是学生离开学校许多年之后，还留在学生大脑中的那一部分东西．”而这样的教学，学生所形成的能力，是不会随着时间而消逝的． 2．为最大限度地对例题、习题进行“二次开发”的研究，教师还需加强自身业务素质的提高 以前我们常说：“要给学生一杯水，首先教师应该有一桶水．”但就眼前学生的发展来看，这一桶水显然是不够的．新《课程标准》对教学内容、教学方法、教学模式、教学评价体系等方面都作了较大调整，对教师的基本素质提出了新的要求．教师要努力提高自己灵活运用和开发教材的能力，加强自己探究性、创造性的指导能力，形成教学反思的习惯等，当教师自身业务素质提高了，对数学课本例题、习题的“二次开发”就会游刃有余，也能充分发挥学生数学学习的主动性、创造性，很好的培养学生的创新精神和实践能力． 总之，对数学课本例题、习题的“二次开发”，一方面教师的自身素养会在研究的过程冲不断提高，数学课堂的会更加有效．另一方面在这样的教学模式下能充分激起学生学习数学的兴趣，并能主动地、自觉地去探究数学问题，有利于促进学生的发展． |
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