解直角三角形 案例

　　一、教学目标

　　1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；

　　2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

　　3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．重点：直角三角形的解法。

　　2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

　　3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

　　4．解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

　　三、教学步骤

　　（一）明确目标

　　1．在三角形中共有几个元素？

　　2．如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢？

　　（1）边角之间关系

　　

　　（2）三边之间关系

　　（勾股定理）

　　（3）锐角之间关系  。

　　以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

　　（二）整体感知

　　教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基础。因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的。综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

　　（三）教学过程

　　1．我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

　　2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）。

　　3．例题

　　【例1】  在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

　　解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

　　解：（1），

　　（2），

　　∴

　　　　

　　（3）

　　∴

　　　　

　　完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

　　答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

　　【例2】  在Rt中，，解这个三角形。

　　在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

　　解：（1），

　　查表得；

　　（2）

　　（3），

　　∴。

　　注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

　　4．巩固练习

　　解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。为此，教材配备了练习P．23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形；练习2代入数据，培养学生运算能力。

　　[参考答案]

　　1．（1）；

　　（2）由求出或；

　　（3），

　　或；

　　（4）或。

　　2．（1）；

　　（2）。

　　说明：解直角三角形计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程。要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

　　（四）总结扩展

　　1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

　　2．幻灯片出示图表，请学生完成

　　

　　四、布置作业

　　教材P．32习题6．4A组3。

　　[参考答案]

　　3．；

　　

　　五、板书设计

　　

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