黎曼几何专题辩论赛（3）

物理网文 2014-12-31

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黎曼几何专题辩论赛（3）

主持人：请正方继续论证黎曼几何成立的理由，反方进行反驳。

正方：对于数学理论的真假，各派的真理观相差太远。

对于形式主义者，数学命题无所谓绝对真假，而是相对于某一个系统，但这个系统必须是无矛盾的^[1]。

无矛盾性是形式主义者判断真理的唯一标准。

意大利数学家贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899）于1869年提出的常负曲率曲面模型（非欧几何学的欧氏模型），德国数学家克莱因（F.Klein，1849-1925）于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证明了非欧几何学相对于欧几里得几何学是不矛盾的^[1]。

因此，我方认为：因黎曼几何相对于欧几里得几何学是不矛盾的，而大家都相信欧几里得几何学是不矛盾的，是真理，所以，黎曼几何是不矛盾的。根据无矛盾性是任何理论为真理的唯一标准可得：黎曼几何是真理，必然成立。

主持人：请反方反驳。

反方：目前，在数学界公认一致性是衡量一个数学理论是成立还是不成立的唯一标准。这主要是来源于非欧几何的发现和相对欧几里得几何学是不矛盾的证明，特别是黎曼几何在物理学广义相对论和现代宇宙学的推广和应用的成功，使数学家们也相信非欧几何学也是真实世界的真理。

我方先说明一点，欧几里得几何学是不矛盾并没有直接的证明。希尔伯特的《几何学基础》把几何学公理的无矛盾性变成了实数算术的无矛盾性。

戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析(微积分）建立在实数理论的严格基础之上，化解了第二次数学危机，并且进一步把实数算术的无矛盾性归结成自然数论的无矛盾性。

弗雷格和戴德金又把自然数论的无矛盾性归结为逻辑与集合论。

罗素在集合论发现了罗素悖论，震动了整个数学界，使建立在一阶逻辑基础之上的集合论受到质疑，第三次数学危机由此引发。

罗素和怀特海的《数学原理》把初等数论进行了符号化，并建立了在一阶逻辑基础之上的形式数论公理系统，化解了第三次数学危机。

李子在罗素的《数学原理》的形式数论系统发现和证明了存在逻辑矛盾和无数个悖论，产生了第四次数学危机^[2]。

因形式数论系统是不一致的，则欧几里得几何学的一致性，没有得到证明。

因欧几里得几何学的一致性，没有得到证明，则黎曼几何的一致性没有得到证明。因此，认为黎曼几何是不矛盾的，是真理的观点不成立。

下文证明：无矛盾性作为判断真理的唯一标准是错误的。

证明：用反证法。假设无矛盾性是任何理论为真理的唯一标准是正确的。推出矛盾，否定假设。

在《第四次数学危机及其影响（10）--第四次数学危机与非欧几何学（6）》 ^[3]一文中，有以下证明：

设黎曼几何系统为M系统，建立新的几何系统N如下：

推理规则(否证规则)：如果公式A在M内可证，则┓A是N的定理。

定理1：N系统相对于M系统是不矛盾的。

证明：因为若N是不一致的，则N必可证定理p，并且可证定理┓p。而定理p和定理┓p都是由否证规则从M系统的定理推得，因此，必可证M系统不一致。

N系统相对于M系统是不矛盾的，而M系统相对于欧几里得几何系统（O）是不矛盾的，请问N、M、O系统哪个理论正确？即非黎曼几何系统（N）、黎曼几何系统（M）与欧几里得几何系统（O）哪个理论正确？

按照形式主义者真理的判断标准，黎曼几何系统（M）成立，非黎曼几何系统（N）也必然成立，而M的定理与N的定理完全相反。那究竟是M的定理“三角形内角之和大于180度（r）”真，还是N的定理“并非三角形内角之和大于180度（?r）”真呢？

由数理逻辑命题演算真值表^{[1] [4]}可得：若r为真，则?r必假，若?r真，则r必假，两命题必然有一假，不可能都为真值。

因此，假设无矛盾性是任何理论为真理的唯一标准是正确的，不可能成立。否则，r、?r都是真的，这与命题演算真值表不相符。

按照形式主义者真理的判断标准可得：欧几里得几何与黎曼几何都是一致的，都是真理。

将欧几里得几何五条公设扩充到黎曼几何公理系统组成I公理系统。按照形式主义者真理的判断标准，因欧几里得几何与黎曼几何都是一致的，都是真理，则I系统是真理。然而，在《完备的几何学，必然不一致》^[5]一文中，已经证明：r与?r在I系统均可证，I系统是不一致的。按照形式主义者真理的判断标准，I系统不是真理。形式主义者真理的判断标准在I系统内导致矛盾，证明了自己不是真理。