这道中考题的解法真多

hpligsh528 2015-01-27

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这道中考题的解法真多

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞

2010年湖北省武汉市中考题第24题：

已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连结AC，BD交于点P．

(1)如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；

(2)如图2，当OA=OB，且时，求tan∠BPC的值．

(3)如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，直接写出tan∠BPC的值．

　图1 　　　　　图2 　　　　图3

分析：(1)要求的值，联想到平行线分线段成比例定理或平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)，所构成的三角形与原三角形相似(当然，由于已知条件中有中点这个条件，还可以联想到三角形中位线定理，或者三角形的面积)，因此应设法构造平行线．

　　　　　　图4 　　　图5 　　　图6 　　图7

　　　　　　图8　　　　　　　　图9 　　　　　　　　图10

　　图11 　　　　　　图12 　　　　　　　　　图13

思路一：构造中位线

解法1：连结AB、CD，如图4，则CD是△AOB的中位线．

∴CD∥AB，且CD=AB．∴△CPD∽△APB．

∴==2．

思路二：构造平行线

解法2：过点C作CM∥BD交AO于M，如图5．

∵C为OB中点，由平行线分线段成比例定理，得DM=MO，=．

∵D为OA中点，且DM=MO，∴AD=2DM，即==2．

解法3：过点C作CM∥AO交BD于M，如图6．

解法4：过点D作DM∥BO交AC于M，如图7．

解法5：过点D作DM∥AC交BO于M，如图8．

解法6：过点O作OM∥BD交AC的延长线于M，如图9．

解法7：过点O作OM∥AC交BD的延长线于M，如图10．

解法8：过点A作AM∥BO交BD的延长线于M，如图11．

解法9：过点B作BM∥AO交AC的延长线于M，如图12．

(解法3至解法9的过程留给同学们自己完成)

思路三：利用面积

解法10：连结OP，如图13．

∵点C为OB中点，D为OA中点，∴S_△BCP=S_△OCP，S_△ADP=S_△ODP．

∵OA=OB，OA⊥OB，∴S_△AOC=S_△BOD．

∴S_△AOC-S_{四边形ODPC}=S_△BOD-S_{四边形ODPC}，即S_△BCP=S_△ADP．

∴S_△BCP=S_△OCP=S_△ADP=S_△ODP．

∴==2．

(2)要求tan∠BPC的值，注意到∠BPC及其对顶角所在的三角形不是直角三角形，且在两个直角三角形中也无法找到与∠BPC相等的角，因此需要以∠BPC为内角构造直角三角形．另外，为了找出所构造的直角三角形中两直角边的关系，仍然需要作出问题(1)中的辅助线．

解法1：过点C作CE⊥BD于E，过点D作DM∥BO交AC于M，如图14，则．

设AD=k(k＞0)，则AO=4k=OB，DO=AO-AD=4k-k=3k．

∵C为OB中点，∴BC=CO=2k．

在Rt△BOD中，由勾股定理，得BD===5k．

∵DM∥BO，∴．∴BP=4k．

易证△BEC∽△BOD，∴，即．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　图14

∴CE=1.2k，BE=1.6k．∴EP=BP-BE=4k-1.6k=2.4k．

∴tan∠BPC=．

事实上，过点C作CE⊥BD于E后，再作一条与图5～图12中的任何一个图形一样的辅助线，都可以得到一种解法，这样我们就可以得到8种解法．而且在解题过程中，我们又发现了一种比较简捷的方法．

如解法1中，由BD=5k，，得PD=k．而AD=k，于是PD=AD，∠BPC=∠APD=∠A．从而tan∠BPC=tanA=．这是我们在按照常规方法解题的过程中，由于发现线段的相等关系而得到的简捷求法，这是意外的收获．

因此我们也可以只作一条辅助线，辅助线的作法同图5～图12中的任何一个图形的辅助线作法一样，于是我们又得到问题(2)的8种求法．

(3)当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，在tan∠BPC的值时，我们仍然可以像解决问题(2)那样，通过作辅助线求出tan∠BPC的值，但由于已知线段间的数量关系以字母比值的形式给出，这给问题的求解带来极大的不便，而且题目要求直接写出tan∠BPC的值，问题(2)也已经求出了tan∠BPC的值，因此我们应该设法将问题(3)与问题(2)联系在一起．问题(2)中的tan∠BPC值是在“OA=OB，且”这个条件下得到的，要想求出当AD∶AO∶OB=1∶n∶时tan∠BPC的值，就要设法将条件“OA=OB，且”与与“OA=OB，且”发生联系．通过观察不难发现，当n=4时，=4，此时AD∶AO∶OB=1∶4∶4，正好满足“OA=OB，且”，因此当n=4时，必然有tan∠BPC=．而tan∠BPC==，且当n=4时，=2，因此我们有理由猜测：当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，tan∠BPC=．

评注：本题是一道考查平行线分线段成比例、三角形相似、勾股定理及三角函数的综合题，由三个小题组成，这三个小题的难度呈梯度上升，是一道典型的“递进型”中考题．

其中问题(1)中的解法1是根据已知条件中有两个中点，从而想到三角形的中位线定理而作的辅助线，是问题(1)的最简捷解法．解法10也是根据中点想到的辅助线作法．而解法2至解法9是为了利用平行线分线段成比例或构造相似三角形而作的辅助线，其中图5、图6、图7和图8(所作的辅助线没有与已知线段的延长线相交)解答问题(1)常见的辅助线作法．

在解答问题(2)时，因为∠BPC及其对顶角所在的三角形都是非直角三角形，而且从已知条件中我们无法再找出与∠BPC相等的角，为了求出tan∠BPC的值，我们应该首当其充地构造∠BPC所在的直角三角形，于是过点C作CE⊥BD于E，至于过其它点作另一条辅助线，一是为了求出线段PD、BP的比值，从而顺利找出所构造的直角三角形中两直角边的关系，另外这也是由“递进型”中考题的特点(下一题要充分用到上一题的结论或解题思路)决定的．在求解过程中，我们发现PD=AD，于是∠BPC=∠APD=∠A，而∠A在直角三角形中，且正切值容易求出，于是把求tan∠BPC转化为tanA，因此解答问题(2)只需作出与问题(1)类似的辅助线，而无需构造直角三角形，这也是我们在按照正常思路求tan∠BPC的过程中发现的巧妙解法．