有条件的二次根式求值

有条件的二次根式求值

湖北黄石市下陆中学　宋毓彬

有条件的二次根式求值，是二次根式计算中的常见题型。掌握住其中的一些规律和技巧，会给我们的求解带来极大的方便。下面是几种有条件的二次根式求值常见形式。

 

一、利用完全平方式求值

 

例1　已知：a－b=+，b－c=－。求：a²+b²+c²―ab―bc―ac

分析：由被求代数式a²+b²+c²―ab―bc―ac并结合已知条件，易联想到设法将所求的式子配成a－b、b－c、a－c的完全平方式。由已知条件不难求出a－c。

解：由已知条件，可得a－c＝2

原式=（2 a²+2b²+2c²―2ab―2bc―2ac）=[（a－b）²+（b－c）²+（a－c）²]

    =[（+）²+（－）²+（2）²]=11

点拨：配方法是初中数学中的重要思想方法，不仅是解方程和二次函数问题的重要工具，在代数式求值中也经常用到，尤其是“a²+b²+c²±ab±bc±ac”的变形方法要十分熟悉。

 

二、根据被开方数的非负性求值

 

例2　若x、y为实数，且y=，求x+y。

分析：由被开方数的非负性，可知，故x²－4＝0，x＝±2，∵x+2≠0，x≠－2  ∴x＝2。由此可求出y＝。∴x+y＝2+＝。

点拨：被开方数的非负性既是确定根式有意义的重要条件，也常常是根式求值中的重要隐含条件，希望同学们在根式学习过程中多加关注。

 

三、借助有理化因式求值

 

例3　已知：=1，求的值

分析：由于与为互为为有理化因式，其乘积为化去根号。故可尝试一下其乘积的结果。

∵（）（）=（x+6）-（x+1）=5，

∴=5÷（）=5

点拨：互为有理化因式是根式运算中去掉根号的重要工具，广泛应用于分母有理化中。同时还要注意，通过互为有理化因式对根式进行有理化也是根式计算与化简的重要手段。

 

四、巧取整数部分求值

 

例4　已知：的整数部分为a，小数部分为b。求：a+。

分析：由于=a+b，解决本题的关键是如何用根式分别表示出a、b。

∵   即2＜＜3   ∴a=2，b=－2

∴a+=2+=2+=2+

点拨：类似的题目中，都是通过先确定所给根式的取值范围，从而得到相应整数部分的值，再用根式减去整数部分的值即为小数部分的值。