2011年高考分类汇编之解析几何(十二) 天津文
13.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为 . 【解】. 由题设可得双曲线方程满足,即. 于是.又抛物线的焦点为,则.与 ,于是.所以双曲线的方程. 14..已知圆的圆心是直线与轴的交点,且圆与直线相切,则圆 的方程为 . 【解】. 直线与轴的交点为. 于是圆心的坐标为; 因为圆与直线相切,所以圆心到直线的距离即为半径, 因此. 所以圆的方程为. 21.(本小题满分分) 已知椭圆的离心率.连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点.已知点的坐标为. (ⅰ) 若,求直线的倾斜角; (ⅱ)点在线段的垂直平分线上,且.求的值. 【解】(Ⅰ)由得,再由得. 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为, 所以,则, 解方程组得.所以椭圆的方程. (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得.设点的坐标为, 由题意直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为。 于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得 ,因为是方程的一个根,则由韦达定理有 ,所以,从而. ,由,得, 整理得 ,,所以. 所以直线的倾斜角为或. (ⅱ)线段的中点为,则的坐标为. 下面分情况讨论: (1) 当时,点的坐标为,线段的垂直平分线为轴. 于是,,由得. (2) 当时,线段的垂直平分线方程为 .令得 由,,
.整理得..所以. 综上,或.
浙江理
5.已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2, 点M在双曲线上且M F1 x轴,则F1到直线F2M的距离为 C A. B. C. D. 7.已知圆C:,若过点(1,)可作圆的切线有两条,则实数m的取值范围是 C A. B.(,4) C. D. 10.是两个定点,点为平面内的动点,且(且),点的轨迹 围成的平面区域的面积为,设(且)则以下判断正确的是 A.在上是增函数,在上是减函数 B.在上是减函数,在上是减函数 C.在上是增函数,在上是增函数 D.在上是减函数,在上是增函数 A 21.(本小题满分15分) 如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.。
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程; (Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围. 解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0. 由y=x2, ① 得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切= x1, ∴直线l的斜率kl=-=-, ∴直线l的方程为y-x12=- (x-x1), 方法一: 联立①②消去y,得x2+x-x12-2=0. ∵M是PQ的中点 ∴ x0==-, y0=x12-(x0-x1). ∴y0=x02++1(x0≠0), ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). 方法二: 由y1=x12,y2=x22,x0=,得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2), 则x0==kl=-,∴x1=-,将上式代入②并整理,得y0=x02++1(x0≠0), ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). (Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b). 分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则 .
方法一: ∴|b|()≥2|b|=2|b|=2. ∵y1、y2可取一切不相等的正数, ∴的取值范围是(2,+). 方法二: ∴=|b|=|b|. 当b>0时,=b==+2>2; 当b<0时,=-b=. 又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0, 于是k2+2b>0,即k2>-2b. 所以>=2.∵当b>0时,可取一切正数, ∴的取值范围是(2,+). 方法三: 由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP, 即=.则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2). 于是b==-x1x2. ∴==+=+≥2. ∵可取一切不等于1的正数, ∴的取值范围是(2,+). 2011-07-05 人教网 |
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