浅谈立体几何中的轨迹问题 以往我们提到轨迹问题，往往想到的是解析几何中的动点轨迹问题。但是《普通高中数学课程标准》提出“在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系”，高考大纲也提出了数学整体性和综合性的要求，于是立体几何与解析几何作为几何的两个分支，两者“联姻”而成的题型——立体几何中的轨迹问题逐渐成为高考与各省市模拟中的“热点”。 对于立体几何的轨迹问题，同学们往往感觉比较陌生，不知从何下手。解决立体几何中的轨迹问题的关键是通过知识点的迁移转化为同一平面内动点所满足的几何条件，再把它转化为解析几何的问题来求解。本文总结了若干种常用方法并结合典型例题加以说明。
方法1：运用交轨法求轨迹  例1（2008浙江高考）如图， 是平面 的斜线段， 为斜足，若点 在平面内运动，使得 的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线 分析：因为 面积为定值，为定长线段，因此，点到直线距离为定值，动点构成图形是以直线为轴的圆柱面，因为是平面的斜线，所以圆柱面与平面的交线为椭圆，故选B。例2 （2006年北京卷）平面 的斜线交于点 ，过定点的动直线 与垂直，且交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点 ，则动点的轨迹是( )A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支 分析：设 与 是过点且与垂直的任意的两条直线，则这两条直线确定了一个平面 ，由题意可得 ，由于过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，因此平面是唯一的.所以动点都在平面与的交线上，故选A。立体几何中的轨迹问题往往求解的是交点的轨迹，因此根据图形发挥想象去判断动点可能形成的轨迹形状是一种比较直观简便的方法，适用于填空或选择题型。 方法2：利用解析几何中曲线的定义 把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解，其实就是解析几何中曲线的定义的平面的立体化，还得紧紧抓住解析几何中曲线的定义，通过解析几何中曲线的定义达到解答立体几何中的轨迹问题。此方法的关键在于熟悉各类曲线的定义及其特点： 圆：动点到定点的距离恒不变，其中定点即圆心，距离即圆半径。 圆锥曲线第二定义：给定一点 ，一直线以及一非负实常数 ，则到的距离与距离之比为的点的轨迹是圆锥曲线，根据的范围不同，曲线也各不相同，具体如下： ，轨迹为椭圆。 ，轨迹为抛物线。 ，轨迹为双曲线。其中定点即圆锥曲线的焦点，定直线为圆锥曲线的准线。例3 在正方体  中点在面 及边界上运动，若到直线 与直线 距离比为 ，则的轨迹为( )A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 椭圆 分析：  ，点到直线 距离为 ，于是可得在平面内，点到 距离与到直线距离之比为 ，由椭圆第二定义可知，动点轨迹为椭圆，故选D。方法3：通过计算转化平面轨迹 在复杂题型中，往往需要通过计算再根据曲线特征定义来判断轨迹。 例4 正方体 ，棱长为1，点 在棱上,且 ，点是平面 上的动点，且动点到直线 距离与动点到距离平方差为1，则动点的轨迹（ ）A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线  分析：设  ，垂足为 ，过点作 ，垂足为 ，连接 ,则 ，即 且  ，由抛物线定义可知点轨迹为抛物线。 例5 四棱锥 中， ，底面为梯形， ，满足上述条件的四棱锥顶点的轨迹是A. 圆 B. 圆的一部分 C. 抛物线 D. 抛物线的一部分 分析：设  ，易知，   …………①   点在过直线且与平面垂直的确定平面PAB内点轨迹是平面 内的一个圆又直线 上存在两点 使①式成立，当点在处时， 五点在同一平面内，不能构成四棱锥，所以顶点的轨迹是圆的一部分。方法四：结合立体几何中图形本身的特征  结合立体几何中图形本身的点、线、面之间的位置关系特征，也是解决立体几何中的轨迹问题一种重要方法。例6 如图，正方体 中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持 ，则动点的轨迹是（ ）A．线段  B．线段 C．  中点与 中点连成的线段 D．中点与 中点连成的线段解析：（1）若点 与点重合，在正方体中， 在平面内的射影是 ，而 ，由三垂线定理可得 ，即；（2）若点 与点不重合，由（1）知 ，又 ，所以 ，可得 。又由于 ，则有 ，所以 ，所以可得 ，则 。而在平面内，过点与 垂直的直线是；结合（1）和（2）的分析可得，动点 的轨迹是线段，即选A。方法五：建立空间直角坐标系来求解轨迹 当从题目条件无法判断或得到曲线特征信息时，可以通过建立空间直角坐标系的方法求解动点坐标需要满足的条件，从来直接求得动点轨迹方程。  例7 已知 ，过点引与直线成 角的直线交平面于 ，则点轨迹是( ). A. 两个点 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 抛物线 分析：如图，过 作 于点 ，以过点与垂直的直线为 轴，过点与平行的直线为 轴，以 为 轴建立空间直角坐标系，过作 轴于。设  ，则 ，由于点固定，不妨设 。则由题意可得 ，即 ，故选B。以上就是几种常见的立体几何求轨迹问题的题型，在做此类题型时还需注意结果的多种可能性或轨迹求解中的条件限制，如： 例8 三棱锥  中，已知侧面内一动点到点的距离与它到底面 的距离相等，则点的轨迹所在的曲线有可能是：①直线 ②圆 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线。上述结论中，正确结论的所有序号是 。 分析:设侧面与底面所成的二面角大小为 ，过点作 于，过作 交于点 ，连结 ，则 就是侧面与底面所成的二面角 （定值） （定值） 所以当  时，点的轨迹所在的曲线是椭圆；当 时，点的轨迹所在的曲线是抛物线。 例9 （2004年高考天津卷文）如图，定点和都在平面内，定点 ，是内异于和的动点，且 。那么，动点在平面内的轨迹是（ ）A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 分析：由  ，可得 。又，所以 ，则可得 。由于定点和都在平面内，动点满足的轨迹是在平面内以为直径的圆。而是内异于和的动点，所以动点在平面内的轨迹是在平面内以为直径的圆（但去掉两个点和），即选B。 |
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