对一道高考题的解法思索

对一道高考题的解法思索

江苏省徐州一中　张培强

题目  （2011年高考江苏卷第14题）设集合，，若，则实数的取值范围是______________．

 

试题以集合之间的关系铺开，糅合了不等式表示的平面区域、直线与圆的位置关系等，体现了在知识的交汇处命题的理念．也正因有这么多知识形式在，问题解决的突破口丰富了起来．

 

思路1：考虑集合，值的正负决定形成的平面区域是圆环域还是圆域，因此，需要讨论的正负．

 

解析1：（1）当时，集合表示以为圆心，以为半径的圆及其内部形成的圆域，集合表示两条平行线形成的带状区域，如图1，只需直线与圆有交点即可，即，解得，此时无解；

 

 

（2）当时，，，此时；

 

（3）当时，集合表示以为圆心，以和为半径的两圆形成的圆环域（且由可得或），集合表示两条平行线形成的带状区域，

 

①若两直线、中之一与圆有交点，满足题意，即或，解得或，此时；

 

②若带状区域将圆环域覆盖，也符合题意，即，此时无解．

 

综上所述，实数的取值范围是．

 

注：当时，由点在直线上方，可知，如此，只需解关于的一次不等式即可．情况（3）中的②容易被忽略．事实上，在时，求得后，可判断大圆直径不小于1，而两直线间的距离为，故情况②不可能存在．恰是数能定形，形以助数，数与形两相依．

 

思路2：考虑集合始终包含点，而集合相对来讲就是绝对移动的，因此，可按包含与否来分类讨论．

 

解析2：（1）当，即时，点在直线上方，只需，此时无解；

 

（2）当，即时，点，恒成立；

 

（3）当，即时，点在直线下方，只需，此时．

 

综上所述，实数的取值范围是．

 

注：此种类别较为清晰，不重不漏．可见，就算是对同一个问题的分类讨论，也有不同的分类标准，导致解题的繁简程度不一．事实上，考虑图形的特殊性，可快速列出不等式．如情况（1）中，设直线与轴的交点为，为，过作的垂线，垂足为，如图2，则为等腰直角三角形，故由题意可得，，即．

 

 

思路3：由于正面解决起来分类较多，故可考虑反面的情形．

 

解析3：（1）当，即时，满足；

 

（2）若带状区域位于圆域（圆环域）下方或上方，即时，解得或，此时亦有．

 

综上所述，使成立，故所求实数的取值范围是．

 

注：情况（2）若细分开来去讨论，则式子多，计算复杂．可见，分类讨论中，若能将看似不同的情况用同样的代数式来表达，则会大大简化解题的过程．当然，这需要一定的解题功底和敏锐的洞察力．

 

思路4：考虑集合中代数式的形式（两个数的平方和），可用三角换元来减元．

 

解析4：由题意可知，易得或．

 

（1）当时，易知；

 

（2）当时，设，，由题意知，存在、使能成立，即．令，则，解得，故．

 

综上所述，实数的取值范围是．

 

注：用的三角式子取代、，使得原本独立的两个不等式组连结了起来．两个集合有公共部分，转化为新的不等式组能成立问题，顺利解决需要我们有清晰的逻辑思维能力．

2011-10-28  人教网