奥数知识三十二——乘除法中的简便运算

乘除法中的简便运算

乘、除法计算简算的核心思想是“凑整”和“化简”。即在计算中，灵活运用乘除法运算律，尽可能把题目给出的数据凑成整十、整百、整千的数，最好是10、100、1000时，再计算；或运用商不变的性质把题目中的较大的数据转化为较小的数据再计算。

为了更好地简算，对这三组计算要烂熟于心：5×2=10；25×4=100；125×8=1000。关于5、15的偶数倍也要能熟练计算。

乘、除法简算中常用的运算律有：

乘法交换律：a×b=b×a；

乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c)；

    乘法分配律：（a±b）×c=a×c±b×c；

除法的运算性质：a÷b÷c=a÷(b×c)；

商不变的性质：①a÷b =（a×c）÷(b×c)；

 ②a÷b =（a÷c）÷(b÷c)。

 （b、c不等于0。）

乘法交换律、结合律和除法的运算性质，孩子在课堂上已经掌握，通过本讲学习，要学会灵活使用、推广使用。其中乘法交换律和结合律常常是同时综合使用。乘法交换律可推广为在同一级（我们把乘、除法运算定为第二级运算）运算中的 “带符号移动”。

【题目】：

（1）47600÷25；（4）617×958+617×1043-617。

【解析】：

解题前要先仔细观察题目中的数据，再选择合适方法计算。

第（1）题，除数25乘以4可以凑成100，有两种算法：

①47600÷25          ②47600÷25

=(47600×4)÷(25×4)  =47600÷25÷4×4

=190400÷100          =47600÷(25×4)×4

=1904                 =476×4

=1904

如果对商不变的性质不熟悉，可用第②种解法。

第（4）题，先想清楚，最后减去617就是减去1个617，再把乘法分配律推广到乘法对减法的分配即可。

617×958+617×1043-617

   =617×（958+1043-1）

   =617×200

   =1234000

【题目】：

（1）9999×2222+3333×3334；（2）1234×100010001。

【解析】：

第（1）题，看到这道算式首先想到的应该是运用乘法分配律计算，但前后两步乘法计算中缺少相同的乘数。因此，要想办法凑成一个相同的乘数：

9999×2222+3333×3334

=3333×3×2222+3333×3334

=3333×6666+3333×3334

=3333×（6666+3334）

=3333×10000

=33330000

第（2）题，这题中的两个数据都不接近一个“整”大数，但100010001每个数位上非0的数字都是1，像这样的数可以拆成最高位为1的“整”大数，便于计算：

1234×100010001

   =1234×（100000000+10000+1）

   =1234×100000000＋1234×10000＋1234×1

   =123412341234

 

【题目】：

计算456×567567-567×456456。

【解析】：

观察题目中数据，很有规律，而且很容易想到乘法分配律，但左右两步乘法计算中没有相同的乘数，因此需要对题中的数据进行分解，凑出相同乘数：

456×567567-567×456456

=456×567×1001-567×456×1001

=0

【题目】：

求 99…99  × 99…99  + 199…99  所得结果末尾有多少个零？

1999个9    1999个9    1999个9

【解析】：

观察题目中数据，首先肯定是要把最后一个加数拆成前面的乘数和另一个数的和，然后再边计算边观察。有很多简算题的简算方法要在完成了前面的一步或几步后才能被发现：

99…99  × 99…99  + 199…99 

1999个9    1999个9    1999个9

=99…99  × 99…99  + 99…99  + 100…00 

1999个9    1999个9   1999个9    1999个0

=99…99  ×（ 99…99  +1）+ 100…00 

1999个9      1999个9        1999个0

=99…99  ×100…00  + 100…00 

1999个9    1999个0    1999个0

=（99…99  +1）×100…00 

1999个9        1999个0

=100…00  × 100…00 

 1999个0     1999个0

=100…00 

3998个0

所以这题结果的末尾有3998个0。

上面所得的结果我不认同，我觉得最后的结果应该是：3998+8=4006