小升初衔接数学讲义2

课题10  有理数的加法

一、【学习目标】

1.掌握有理数加法法则，并能运用法则进行计算；

2.培养观察、比较、归纳及运算能力．

3.掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算；

4.渗透数形结合和转化的数学思，培养用这种数学思想解决实际问题的能力.

二、【知识梳理】

1.有理数加法法则的探索：前面我们学习了有关有理数的一些基础知识，从今天起开始学习有理数的运算．

两个有理数相加，有多少种不同的情形？为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：

足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”．比如，赢3球记为+3，输2球记为-2．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：

(1).上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么全场共赢了5球．也就是(+3)+(+2)=+5．        ①

(2).上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是(-2)+(-1)=-3．  ②

（3）.上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是(+3)+(-2)=+1         ③

（4）.上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是(-3)+(+2)=-1         ④

（5）.上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是(+3)+0=+3；            ⑤

（6）.上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是(-2)+0=-2      ⑥

（7）.上半场赢了3球，下半场输了3球，全场是平局，也就是（+3）+（-3）=0        ⑦

上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在我们大家仔细观察比较这7个算式，看能不能从这些算式中得到启发，想办法归纳出进行有理数加法的法则？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？

这里，先让学生思考2～3分钟，再由学生自己归纳出有理数加法法则：

2. 有理数加法法则：

⑴.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶.互为相反数的两个数相加得0；

⑷.一个数同0相加，仍得这个数．

3.“有理数加法”与小学里学过的数的加法有什么区别和联系？

答：进行有理数加法运算，先要根据具体情况正确地选用法则，确定和的符号，这与小学里学过的数的加法是不同的；而计算“和”的绝对值，用的是小学里学过的加法或减法运算．

请算一算：

①. (-9.18)+6.18=            ；         ②. 6.18+(-9.18)          ；

③. [8+(-5)]+(-4)=            ；        ④. 8+[(-5)+(-4)]=          ；

⑤. [(-7)+(-10)]+(-11)=           ；    ⑥. (-7)+[(-10)+(-11)]      .

4.有理数运算律：

（1）交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．用代数式表示上面一段话：.

这里的字母a，b表示任意两个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．

（2）结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．

用代数式表示上面一段话：.这里的字母a，b，c表示任意三个有理数．

 

三、【典例精析】

例1计算下列算式的结果：（口答）

(1)(+4)+(+7)；       (2)(-4)+(-7)；       (3)(+4)+(-7)；        (4)(+9)+(-4)；

(5)(+4)+(-4)；       (6)(+9)+(-2)；       (7)(-9)+(+2)；        (8)(-9)+0；

进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．

示范：(-3)+(-9)    (两个加数同号，用加法法则的第2条计算)

=-(3+9) (和取负号，把绝对值相加)

=-12．

请同学们计算下列各题：

(1)(-0.9)+(+1.5)；        (2)(+2.7)+(-3)；       (3)(-1.1)+(-2.9)；

 

 

例2.计算16+(-25)+24+(-32)．(要求注理由)

 

 

点拨：把正数与负数分别结合在一起再相加，计算就比较简便．

例3.  10袋小麦称重记录下，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．7 ，

5，-4，6，4，3，-3，-2，8，1。总计是超过多少千克或不足多少千克？ 10袋小麦的总重量是多少？

 

 

例4.计算：(要求注明理由)

(1)23+(-17)+6+(-22)；   (2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；   (3)(-7)+(-6.5)+(-3)+6.5．

 

 

 

(4)(-17)+59+(-37)；                 (5)(-18.65)+(-6.15)+18.15+6.15；

 

 

 

例5.小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈余为正)：

128.3元，-25.6元，-15元，27元，-7元，36.5元，98元,一周总的盈亏情况如何？

 

 

 

小结：（1）本讲我们从实例出发，经过比较、归纳，得出了有理数加法的法则．今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题．

（2）应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事．

（3）灵活运用运算律可简化计算.

 

四、【过关精练】

1．两个有理数的和（    ）

A．一定大于其中的一个加数             B．一定小于其中的一个加数

C．和的大小由两个加数而定             D．和的大小由两个加数的绝对值而定

2．下面计算错误的是（     ）

A．； B.（－2）＋（＋2）＝4； C．； D．（－71）＋0＝－71

3．如图，下列结论中错误的是（     ）

A．      B．      C．        D． 

4.两个负数相加其和为_____ ______数．

5.互为相反数的两个数的和是____ _____．

6.绝对值不等的异号两个数相加，其和的符号与绝对值____ ______的加数的符号相同．

7.如图，请用表示与的和．

8.计算

（1）；   （2）（－0.19）＋（－3.12）；  （3） ； （4）

 

 

9.计算

（1）（－12.56）＋（－7.25）＋3.01＋（－10.01）＋7.25；

 

（2）0.47＋（－0.09）＋0.39＋（－0.3）＋1.53；       （3） ；

 

（4）23＋（－72）＋（－22）＋57＋（－16）；      （5）；

 

（6）

 

 

10.一名外地民工10天的收支情况如下（收入为正）：

30元，－17元，21元，－5元，－3元，18元，－21元，45元，－10元，28元．这10天内这名外地民工净收入多少钱？

 

 

11.一小商店一周的盈亏情况如下（亏为负）：单位：元

星期	周一	周二	周三	周四	周五	周六	周日
盈亏情况	128.3	－25.6	－15	27	－7	36.5	98

（1）计算出小商店一周的盈亏情况；（2）指出盈利最多一天的盈利额．

 

 

12.在－49，－48，－47，…，2003这一串数中（1）前99个连续整数的和是多少？（2）前100个连续整数的和是多少？

 

13.．用“＞”或“＜”号填空：

(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b ______0；

(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b ______0；

(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b ______0；

(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b ______0．

14.分别根据下列条件，利用|a|与|b|表示a与b的和：

(1)a＞0，b＞0；                          (2) a＜0，b＜0；                   

(3)a＞0，b＜0，|a|＞|b|；                      (4)a＞0，b＜0，|a|＜|b|．                   

15.飞机的飞行高度是1000米，上升300米，又下降500米，这时飞行高度是多少？

 

 

16.存折中有450元，取出80元，又存入150元以后，存折中还有多少钱？

 

 

17.一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少？

 

 

18.8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：

1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5。这8筐白菜的总重量是多少？

 

 

19.列式计算：温度－10℃上升了3℃达到多少度？

 

 

20.一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场.

（1）用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B，商场C，超市D的位置.

（2）超市D距货场A多远？

（3）货车一共行驶了多少千米？

 

 

 

 

 

课题11   有理数的减法

一、【学习目标】

1．掌握有理数减法法则并熟练地进行有理数减法运算；

2．培养观察、分析、归纳及运算能力．

3.理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念；

二、【知识梳理】

1.提出问题：

（1）口答：① (-2.6)+(-3.1)=      ；   ② (-2)+3=     ；   ③ 8+(-3)=          .

（2）化简下列各式符号：① -(-6)=   ；    ② -(+8)=    ；    ③ +(-7)=      ；

④ +(+4)=       ； ⑤ -(-9)=        ；⑥ -(+3)=        .

（3） ① ___+6=20； ② 20+___=17； ③ ___+(-2)=-20；  ④ (-20)+___=-6．

在第（3）题中，已知一个加数与和，求另一个加数，在小学里就是减法运算．如______+6=20，就是求20-6=14，所以14+6=20．那么②，③，④是怎样算出来的？这就是有理数的减法，减法是加法的逆运算．

2.研究有理数减法法则

问题1.(1).(+10)-(+3)=______ ； (2).(+10)+(-3)=______．

教师引导学生发现：两式的结果相同，即 (+10)-(+3)=(+10)+(-3)．

教师启发学生思考：减法可以转化成加法运算．但是，这是否具有一般性？

问题2.(1).(+10)-(-3)=____；（2）.（+13）+（－3）=     ；(3).(+10)+(+3)=____ 

对于(1)，根据减法意义，这就是要求一个数，使它与-3相加等于+10，这个数是多少？（2）的结果是多少？（答+10），故(+10)-(-3)=+13；又（3）的结果是多少？（答+13），于是，(+10)-(-3)=(+10)+(+3)．至此，归纳出有理数减法法则：

3. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

点拨：此法则时注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数

4.⑴叙述有理数加法法则．⑵叙述有理数减法法则．⑶叙述加法的运算律

 

5.口算：(1)2-7；         (2)(-2)-7；      (3)(-2)-(-7)；      (4)2+(-7)；

(5)(-2)+(-7)；   (6)7-2；         (7)(-2)+7；          (8)2-(-7)．

6.加减法统一成加法算式——代数和

以上口算题中(1)，(2)，(3)，(6)，(8)都是减法，按减法法则可写成加上它们的相反数．同样，(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-9)+(+6)，这样便把加减法统一成加法算式．几个正数或负数的和称为代数和.

再看16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7)．

既然都可以写成代数和，加号可以省略，每个括号都可以省略，如：

(-11)-7+(-9)-(-6)=-11-7-9+6，读作“负11，负7，负9，正6的和”，运算上可读作“负11减7减9加6”；

16+2+(-4)+6+(-7)=16+2-4+6-7，读作“正16，正2，负4，正6，负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”。

三、【典例精析】

例1.计算：(1)(-3)-(-5)； (2)0-7．(3)18-(-3)；   (4)(-3)-18；    (5)(-18)-(-3)；   (4)(6)-(-18)． 

 

点拨：在小学里学习的减法，差总是小于被减数，在有理数减法中，差不一定小于被减数了，只要减去一个负数，其差就大于被减数．

例2.计算：(1)(-3)-[6-(-2)]；               （2)15-(6-9)．

 

例3.15℃比5℃高多少？ 15℃比-5℃高多少？

 

例4.把(-20)+(+3)-(+5)-(-7)写成省略括号的和的形式，并把它读出来．

 

 

例5.把下面加减法混合运算的式子改成只含加法的式子：

(1)-30-15+13-(-7)；         (2)-7-4+(-9)-(-5)．

 

 

例6.填空：(1)如果a-b=c，那么a=______；       (2)如果a+b=c，那么a=______；

(3)如果a+(-b)=c，那么a=______；    (4)如果a-(-b)=c，那么a=______．

例7.用“＞”或“＜”号填空：

(1)如果a＞0，b＜0，那么a-b______0；    (2)如果a＜0，b＞0，那么a-b______0；

(3)如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a-b______0；   (4)如果a＜0，b＜0，那么a-(-b)______0．

例8.解下列方程：

(1)x+8=5；        (2)x-(-7)=-3         (3)x-11=-4；         (4)6+x=-10．

 

 

例10.分别求出数轴上两点间的距离：

(1)表示数6的点与表示数2的点；

(2)表示数5的点与表示数0的点；

(3)表示数2的点与表示数-5的点；

(4)表示数-1的点与表示数-6的点．

小结：（1）由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．

（2）不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的．

（3）因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．

四、【过关精练】

1．下面说法中正确的是（     ）

A．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数      B．两个负数的差一定是负数

C．正数减去负数差是正数                        D．两个正数的差一定是正数

2．下面说法中错误的是（     ）

A．减去一个数等于加上这个数的相反数       B．减去一个数等于减去这个数的相反数

C．零减去一个数就等于这个数的相反数       D．一个数减去零仍得这个数

3．甲数减乙数差大于零，则（   ）

A．甲数大于乙数                          B．甲数大于零，乙数也大于零

C．甲数小于零，乙数也小于零              D．以上都不

4.比－3多2的数是____ ______，比－3少2的数是___ _____；

5.⑴.      ；.      ⑵      .

6.口答：

(1).-8-8=      ；   (2).(-8)-(-8)=   ；  (3).8-(-8)=     ；        (4).8-8=     ；

(5).0-6=       ；   (6).6-0=        ；  （7).0-(-6)=     ；        (8).(-6)-0=     ；

(9).16-47=    ；    (10).28-(-74)=    ； (11).(-37)-(-85)=    ；  （12).(-54)-14=     

(13).1.6-(-2.5)=  ；(14)0.4-1=   ；      (15).(-3.8)-7=    ；      (16).(-5.9)-(-6.1)=   

7.判断：⑴.若，则；（    ）    ⑵.若成立，则；（    ）

⑶.若，，则（    ）

8.请举例说明两个数的差不一定小于被减数．

 

9.如图，根据图中与的位置确定下面计算结果的正负．

（1）；  （2）；  （3）；  （4） 

10.计算：（1）2.7－（－3.1）；   （2）0.15－0.26；     （3）（－5）－（－3.5）

 

（4）；        （5）；     （6） 

 

11.2012年4月2日，长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下表，哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？ 

城市名称	哈尔滨	长春	沈阳	北京	大连
最高温度	2℃	3℃	3℃	10℃	6℃
最低温度	－12℃	－10℃	－8℃	2℃	－2℃

 

12.求数轴上表示两个数的两点间的距离．

（1）表示的点与表示的点．     （2）当时，表示数的点与表示的点．

 

13．世界最高峰是珠穆朗玛峰，海拔高度是8848m，陆上最低处是位于亚洲西部的死海湖，湖面海拔高度

是-392m．两处高度相差多少？

 

 

14..一次全国高考数学试题共15个选择题，规定答对一个得4分，答错一个扣1分，不答得0分，某人选对12个，错2个，未选一个，请问该生选择题得多少分？

 

15..思法中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A处开工，约定向东为正，向西为负，从开工处A到收工处B所走的路线（单位：米），分别为+10；－3；+4；－2；+13；－8；－7；

－5；－2。工作人员整修跑道共走了多少路程？

 

 

 

 

课题12  有理数的加减混合运算

一、【学习目标】

1．理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念；

2．熟练地进行有理数的加减混合运算；

3．利用运算律简化运算，培养运算能力．

二、【知识梳理】

1.回顾：⑴叙述有理数加法法则：叙述有理数减法法则；叙述加法的运算律.

 

⑵化简：+(+3)；        +(-3)；         -(+3)；        -(-3)．

⑶口算：

①.2-7；          ②.(-2)-7；       ③.(-2)-(-7)；       ④.2+(-7)；

 

⑤.(-2)+(-7)；    ⑥.7-2；         ⑦.(-2)+7；        . ⑧.2-(-7)．

 

2.代数和：

以上口算题中(1)，(2)，(3)，(6)，(8)都是减法，按减法法则可写成加上它们的相反数．同样，(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-9)+(+6)，这样便把加减法统一成加法算式．几个正数或负数的和称为代数和．

再看16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7)．

既然都可以写成代数和，加号可以省略，每个括号都可以省略，如：

⑴(-11)-7+(-9)-(-6)=-11-7-9+6，读作“负11，负7，负9，正6的和”，运算上可读作“负11减7减9加6”；

⑵16+2+(-4)+6+(-7)=16+2-4+6-7，读作“正16，正2，负4，正6，负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”

点拨：⑴.代数和有两种读法：①.按正负号读；②按运算读 .    ⑵.加减法统一成加法算式

3.观察一下计算结果，可以发现什么规律？

⑴a-(b+c)=a-b-c；           ⑵ a-(b+c+d)=a-b-c-d；

⑶a-(b-d)=a-b+d；           ⑷ (a+b)-(c+d)=a+b-c-d；    (a-c)-(b-d)=a-c-b+d．

4. 去括号法则：括号前是“-”号，去括号后括号里各项都要改变符号；括号前是“+”号(没标符号当然也是省略了“+”号)去括号后各项都不变．

5.灵活应用交换律、结合律可简化运算，交换时应连同数字前的符号一起交换．

三、【典例精析】

例1.把下面各式写成省略括号的和的形式，并把它读出来（两种读法），再计算.

⑴.10+(+4)+(-6)-(-5)；       ⑵.(-8)-(+4)+(-7)-(+9)；

 

⑶.(-20)+(+3)-(+5)-(-7)     (4).（-16）+（+25）-（-16）+（-15）-（-4）+（-10）．

 

例2.计算：

(1)-12+11-8+39；   (2)+45-9-91+5；    (3)-5-5-3-3；    (4)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28；

 

 

例3.当a=13，b=-12.1，c=-10.6，d=25.1时，求下列代数式的值：

(1)a-(b+c)；        (2)a-b-c；       (3)a-(b+c+d)；      (4)a-b-c-d；     (5)a-(b-d)； 

   

(6)a-b+d；        (7)(a+b)-(c+d)；      (8)a+b-c-d；    (9)(a-c)-(b-d)；      (10)a-c-b+d．

 

四、【过关精练】

1．在1.17－32－23中把省略的“＋”号填上应得到（    ）

A．1.17＋32＋23；     B．－1.17＋（－32）＋（－23）；

C．1.17＋（－32）＋（－23） D．1.17－（＋32）－（＋23）

 

2．下面说法中正确的是（    ）

A．－2－1－3可以说是－2，－1，－3的和    B．－2－1－3可以说是2，－1，－3的和

C．－2－1－3是连减运算不能说成和          D．－2－1－3＝－2＋3－1

3．下面说法中错误的是（    ）

A．有理数的加减混合运算都可以写成有理数的加法运算

B．－5－（－6）－7不能应用加法的结合律和交换律

C．如果 和 都是 的相反数，则 

D．有理数的加减混合运算都可以写成有理数的减法运算

4.把下列式子变成只含有加法运算的式子．

（1）－9－（－2）＋（－3）－4＝__________           _；

（2）                        .

5．把下列各式写成省略加号的形式．

（1）－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝__________            ；

（2）                   

6．计算：

（1）－5＋7－15－4＋2＝_____；   （2）－0.5＋4.3－9.6－1.8＝____；（3）=     ；

7.计算：

（1）；       （2） ；

 

（3）；            （4）

 

8.计算：

（1）；                （2）；

 

（3）；                  （4）.

 

9．计算：

（1）；

 

（2）－1999＋2000－2001＋2002－2003．

 

10．存折中有2676元，取出1082元，又存入600元，在不考虑利息的情况下，你能算出存折中还有多少元钱吗？

 

11.小胖去年年末称体重是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况：

月             份	一月	二月	三月	四月	五月	六月
体重变化情况/千克	－2.5	＋2	－3.5	－3	＋1.5	－2

负数表示比上月减少，正数表示比上月增加

（1）小胖1～6月中哪个月的体重最重，是多少？

（2）小胖1～6月中哪个月的体重最轻，是多少？

（3）小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？

 

 

 

12．某校初一抽出5名同学测量体重，小明体重是55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数如下表：

姓               名	小光	小月	小华	小刚
与小明体重的差数/千克	＋5	－4	－1	＋3

比小明重记为正，比小明轻记为负

（1）哪几名同学的体重比小明重，重多少？

（2）哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？

（3）写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？

 

 

13．某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份比预计平均月售出额多10千克记为＋10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表（前11个月）：

月份	一月	二月	三月	四月	五月	六月	七月	八月	九月	十月	十一月
销售量变化情况/千克	＋10	＋5	＋2	0	－3	－4	－10	－12	＋5	＋4	＋5.8

（1）每月的销售量是多少？

（2）前11个月的平均销售是多少？

（3）要达到预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克？

 

 

14．判断题：在下列各题中，正确的在括号中打“√”号，不正确的在括号中打“×”号：

(1)两个数相加，和一定大于任一个加数．                          （   ）

(2)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数．    （   ）

(3)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号．  （   ）

(4)当两个数的符号相反时，它们差的绝对值等于这两个数绝对值的和．（   ）

(5)两数差一定小于被减数．                                      （   ）

(6)零减去一个数，仍得这个数．                                  （   ）

(7)两个相反数相减得0．                                        （   ）

(8)两个数和是正数，那么这两个数一定是正数．                    （   ）

15．填空题：

(1)一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是______；一个数的倒数等于它本身，这个数一定是______；

一个数的相反数等于它本身，这个数是______．

(2)若a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值是______．

(3)若|a|+|b|=|a+b|，那么a，b的关系是______．

(4)若|a|+|b|=|a|-|b|，那么a，b的关系是______．

(5)-[-(-3)]=______，-[-(+3)]=______．

16.负50，正13，正12，负11的和是多少？

 

17.某水库正常水位是15米，二个月后水位下降了2米，记作－2米，第3个月时下了一场大雨，使水位上升了0.5米，记作+0.5米，求此时水位.

 

 

18.室内温度是32℃，小明打开空调后，温度下降了6℃，记作－6℃，当关上空调后1小时，空气温度又回升了2℃,记作+2℃,求此时室内温度.

 

课题13  有理数的乘法

一、【学习目标】

1．掌握有理数乘法法则，并初步掌握有理数乘法法则的合理性；

2．掌握多个有理数相乘的积的符号法则；

3．掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算；

4．培养学生观察、归纳、概括及运算能力．

二、【知识梳理】

1.复习题问：（1）．计算(-2)+(-2)+(-2)．

（2）．有理数包括哪些数？小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的？(非负数)

（3）．有理数加减运算中，关键问题是什么？和小学运算中最主要的不同点是什么？(符号问题)

（4）．根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减，运算的关键是确定符号问题，你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么？(负数问题，符号的确定)

2.研究有理数乘法法则：

问题1.水库的水位每小时上升3厘米，2小时上升了多少厘米？

解：3×2=6(厘米)．            ①

答：上升了6厘米．

问题2.水库的水位平均每小时上升-3厘米，2小时上升多少厘米？

解：(-3)×2=-6(厘米)          ②

答：上升-6厘米(即下降6厘米)．

引导学生比较①，②得出：

把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数．

这是一条很重要的结论，应用此结论：3×(-2)=？(-3)×(-2)=？(学生答)

把3×(-2)和①式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“-6”，即3×(-2)=-6．

把(-3)×(-2)和②式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”，所得的积应是原来的积“-6”的相反数“6”，即(-3)×(-2)=6．

此外，(-3)×0=0．

综合上面各种情况，归纳出有理数乘法的法则：

3. 有理数乘法的法则：①.同号得正，②.异号得负，③.并把绝对值相乘；④.任何数同0相乘，都得0．

点拨：（1）.“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”．

（2）.用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比，由于介入了负数，使乘法较小学当然复杂多了，但并不难，关键仍然是乘法的符号法则：“同号得正，异号得负”，符号一旦确定，就归结为小学的乘法了．

⑶.在进行有理数乘法时更需时时强调：先定符号后定值．

4．计算(五分钟训练)：

(1)(-2)×3；    (2)(-2)×(-3)；    (3)4×(-1.5)；   (4)(-5)×(-2.4)；   (5)29×(-21)； 

 

(6)(-2.5)×16；  (7)1×2×3×4×(-5)；  (8)1×2×3×(-4)×(-5)；

 

(9)1×2×(-3)×(-4)×(-5)；        (10)1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)；

 

(11)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)．

 

观察上面各题的计算结果，找一找积的符号与什么有关？

点拨：(7)，(9)，(11)等题积为负数，负因数的个数是奇数个；(8)，(10)等题积为正数，负因数个数是偶数个．

是不是规律？再做几题试试：

(1)3×(-5)；           (2)3×(-5)×(-2)；      (3)3×(-5)×(-2)×(-4)；

 

(4)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)；         (5)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)×(-6)．

 

5.结论：当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正．

再看两题：

(1)(-2)×(-3)×0×(-4)；                    (2)2×0×(-3)×(-4)．

 

6.几个有理数相乘时积的符号法则：

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．

（2）几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．

点拨：以后进行有理数乘法运算时必须先根据负因数个数确定积的符号后，再把绝对值相乘，即先定符号后定值．

注意：第一个因数是负数时，可省略括号．

7.乘法运算律[来源:学科网]

计算：(1)5×(-6)；         (2)(-6)×5；        (3)［3×(-4)］×(-5)；  

 

 (4)3×［(-4)×(-5)］；           (5)5×［3+(-7)］；             (6)5×3+5×(-7)．

 

点拨：由上面计算结果，可以说明有理数乘法也同样有交换律，结合律和分配律.

(1)乘法交换律

文字叙述：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．代数式表达：ab=ba.

(2)乘法结合律

文字叙述：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．代数式表达：(ab)c=a(bc)．

(3)乘法分配律

文字叙述：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．

代数式表达：a(b+c)=ab+ac.

点拨：（1）.提问：这里为什么只说“和”呢？ 3×(5-7)能不能利用分配律？

答：这里的“和”不再是小学中说的“和”的概念，而是指“代数和”，3×(5-7)可以看成3乘以5与-7的和，当然可利用分配律．

⑵.提问：如何表达三个以上有理数相乘或一个数乘以几个有理数的和时的运算律？

答：乘法交换律：abc=cab=bca，或者说任意交换因数的位置，积不变；

乘法结合律：a(bc)d=a(bcd)=     ，或者说任意先乘其中几个因数，积不变；

（3）分配律：a(b+c+d+…+m)=ab+ac+ad+…+am，再把所得的积相加．

8.小结：(1)小学学习的乘法运算律都适用于有理数乘法．

(2)我们研究数，总是由数的意义、数的认识(读、写、大小比较等)到数的运算和数的运算律这样一个顺序进行，小学学习的正数和0是这样，现在学习有理数也是这样，将来进一步学习范围更大的数还是这样．掌握了学习的方法，就掌握了自学的钥匙，希望予以注意．

三、【典例精析】

例1．计算：

(1).(-16)×15；         （2).(-9)×(-14)；           (3).(-36)×(-1)；

 

 

(4) 13×(-11)；          (5).(-25)×16；             (6).(-10)×(-16)．

 

 

例2．计算：

(1)2.9 ×(-0.4)；        (2)-30.5×0.2；             (3)0.72 ×(-1.25)；

 

 

(4)100×(-0.001)；       (5)-4.8×(-1.25)；           (6)-4.5×(-0.32)．

 

 

例3．某一物体温度每小时上升a度，现在温度是0度．

(1)t小时后温度是多少？

(2)当a，t分别是下列各数时的结果：

①a=3，t=2；②a=-3，t=2；                   ②a=3，t=-2；④a=-3，t=-2；

 

 

例4．填空(用“＞”或“＜”号连接)：

(1)如果 a＜0，b＜0，那么ab________0；      (2)如果 a＜0，b＜0，那么ab_______0；

(3)如果a＞0时，那么a____________2a；      (4)如果a＜0时，那么a__________2a．

 

 

小结：

1.对有理数乘法法则，要牢记，两个负数相乘得正数，简单地说：“负负得正”．

2.有理数的乘法法则：

⑴两数相乘，同号得＿＿，异号得＿＿，绝对值＿＿＿。

⑵任何数与0相乘，＿＿＿＿

3.（1）什么是倒数？

①    ：②    ；③    ；④  

（2）正数的倒数是＿＿＿；负数的倒数是＿＿＿； 0＿＿＿＿＿。

四、【过关精练】

1.判断下列积的符号(口答)：

⑴.(-2)×3×4×(-1)；            ⑵.(-5)×(-6)×3×(-2)；         ⑶.(-2)×(-2)×(-2)；

 

 

⑷.(-3)×(-3)×(-3)×(-3)； ⑸.1+0×(-1)-(-1)×(-1)-(-1)×0×(-1)： ⑹.(-23)×(-48)×216×0×(-2)；

 

 

⑺.(-9)×(-48)+(-9)×48；                 ⑻.24×(-17)+24×(-9)．

 

 

2.计算：

⑴.(-7.33)×42.07+(-2.07)(-7.33)；        ⑵.(-53.02)(-69.3)+(-130.7)(-5.02)；

 

 

 

3.计算：

（1）（－4）×8×（－2.5）×0.1×（－0.125）×10    （2）×

 

 

4.下列算式中，积为正数的是（  ）

A．（－2）×（＋）  B．（－6）×（－2）  C．0×（－1）  D．（＋5）×（－2）

 

 

5．下列说法正确的是（  ）

A．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号     B．同号两数相乘，符号不变

C．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号 D．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数

 

6．计算（－2）×（－3）×（－1）的结果是（  ）

A．－6               B．－5            C．－8           D．5

7．如果ab＝0，那么一定有（    ）

A．a＝b＝0      B．a＝0     C．a，b至少有一个为0     D．a，b最多有一个为0

8.下面计算正确的是（  ）

A．－5×（－4）×（－2）×（－2）＝5×4×2×2＝80        B．12×（－5）＝－50

C．（－9）×5×（－4）×0＝9×5×4＝180         D．（－36）×（－1）＝－36

9.计算填空，并说明计算依据：

（1）（－3）×5＝______（            ）；    （2）（－2）×（－6）＝_______（              ）；

（3）0×（－4）＝________（             ）；

10．确定下列各个积的符号，填在空格内：

（1）（－7.4）×（－3.2）_______；    （2）(－2)×（－2）×2（－2）________；

（3）（－）×（－）×（－）×（－）

11．（1）（－3）×（－0.3）＝_______；     （2）（－5）×（3）＝_______；

（3）－0.4×0.2＝_______；      （4）（＋32）×（－60.6）×0×（－9）＝______

12．绝对值大于1，小于4的所有整数的积是____  __。

13．绝对值不大于5的所有负整数的积是_____     _。

14．计算：

（1）（－13）×（－6）    （2）－×0.15      （3）（＋1）×（－1）

 

 

（4）3×（－1）×（－）  （5）－2×4×（－1）×（－3）  （6）（－2）×5（－5）×（－2）×（－7）[

]

 

15．如果六个不等于0的数相乘的积为负数，那么这六个乘数中，正的乘数有几个？举例说明。

 

 

16．（1）两个有理数的和为正数，积为负数，那么这两个有理数是什么数？

（2）两个有理数的和为负数，积为负数，那么这两个有理数是什么数？    各举一例加以说明。

 

 

17.计算：

(1).            (2).

 

 

 

 

课题14   有理数的除法

一、【学习目标】

1．理解有理数倒数的意义；

2．掌握有理数的除法法则，能够熟练地进行除法运算；

3．培养观察、归纳、概括及运算能力．

二、【知识梳理】

1．复习：⑴.叙述有理数乘法法则．①两数相乘，同号得    ，异号得    ，并把绝对值    。

②任何数与0相乘，＿＿＿

⑵.叙述有理数乘法的运算律。

⑶.计算： (1)3×(-2)=    ；         (2)-3×5=    ；       (3)(-2)×(-5) =    ．

2.导入：⑴.因为3×(-2)=-6，所以3x=-6时，可以解得x=-2；在找x的值时，就是求一个数乘以3等于-6；

⑵.解方程-3x=-15.就是找一个数x，使它乘以-3等于-15， 因为-3×5=-15，所以得x=5．

点拨：已知一个因数与积，求另一个因数，就是在小学学过的除法，除法是乘法的逆运算．

3．有埋数的倒数：

⑴.计算：①    ：②    ；③    ；④  

⑵.定义：乘积为1的两个数互为倒数.

⑶.结论：正数的倒数是=    ；负数的倒数是=    ； 0            。

点拨：⑴.0没有倒数，(0不能作除数，分母是0没有意义等概念在小学里是反复强调的)．

⑵求一个数的倒数的方法：

整数可以看成分母是1的分数，求分数的倒数是把这个数的分母与分子颠倒一下即可；求一个小数的倒数，可以先把这个小数化成分数再求倒数．即的倒数是；反之的倒数是.

4.有理数除法法则：

⑴.利用有理数倒数的概念，进一步学习有理数除法．

因为(-2)×(-4)=8，所以8÷(-4)=-2．而，故

由此，我们可以看出小学学过的除法法则仍适用于有理数除法，即除以一个数等于乘以这个数的倒数．

⑵.0不能作除数．

法则：两数相除，同号得   ，异号得   ，并把绝对值      ．0除以任何一个不为0的数，都得          ．

⑶.几个非0的有理数相除，商的符号怎样确定？

当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．

如：①.(－12)÷(－2)÷(－3)——三个负数相乘取负

＝－(12÷2÷3)＝－2

②.(－12)÷2÷(－3)——两个负数相乘取正

＝＋(12÷2÷3)＝2

点拨：⑴.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．

⑵.0除以任何一个不为0的数，都得0．即

⑶.利用除法法则可以化简分数．

三、【典例精析】

例1.计算：

（1）－42÷（－6）；    （2）       ⑶.        ⑷.

 

例2. 计算：

⑴.                     ⑵.

 

 

例3.计算：

⑴.(－5)÷(－7)÷(－15)                ⑵.

 

 

⑶.             ⑷ 

 

 

例4. 计算：

⑴.                  ⑵

 

 

⑶         ⑷

 

 

例5. 已知互为相反数，互为倒数，，求的值.

 

 

四、【过关精练】

1.－2的倒数是       ；－0.2的倒数是       ，负倒数是       。

2. 被除数是，除数是的倒数，则商是          。

3. 若，，则      0。         4. 若，，则      0。

5.一个数的相反数是－5，则这个数的倒数是          

6.若a·（－5）＝，则a＝        。

7．填空写出运算结果或使等式成立的被除数或除数，并说出所根据的法则：

（1）（－42）÷（－6）＝_____，依据法则是__________；

（2）（－63）÷7＝_____，依据法则是__________；   （3）_____÷（－2）＝0，依据法则是__________；

8．（1）－的相反数是______，倒数是_______；

（2）－2.6的相反数是_____，倒数是_____，绝对值是______；

（3）若一个数的相反数是－1，则这个数是______，这个数的倒数是______；[来源:Zxxk.Com]

（4）的相反数的倒数是______；    （5）若a，b互为倒数，则ab的相反数是______。

9．若一个数的相反数为－2.5，则这个数是_____，它的倒数是_____。

10．倒数是它本身的数有____，相反数是它本身的数有______。

11．若两个数a，b互为负倒数，则ab＝_____。

12．当x＝____时，代数式没有意义。

13.计算84÷（－7）等于（    ）

A.－12       B．12      C．－14       D．14

14.－的倒数是（    ）

A.－      B．       C．2     D．－2

15.下列说法错误的是（    ）

A．任何有理数都有倒数              B．互为倒数的两数的积等于1

C．互为倒数的两数符号相同          D．1和其本身互为倒数

16.两个有理数的商是正数，那么这两个数一定（    ）

A．都是负数        B．都是正数      C．至少一个是正数      D．两数同号

17.计算：（1）（—0.1）÷10；             （2）（—2）÷（—）；

 

 

（3）÷（—2.5）                （4）（—10）÷（—8）÷（—0. 25）；

 

 

（5）；            （6）0÷（—5）÷100；

 

 

18. 计算：（1）3.5÷（；      ⑵

 

 

 

⑶            ⑷

 

 

 

 

课题15   有理数的乘方

一、【学习目标】

1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；

2．培养观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及探索精神；

3．渗透分类讨论思想．

4.了解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比较大的数．

二、【知识梳理】

1.提出问题：

⑴.在小学我们已经学习过，记作，读作的平方(或的二次方)；，记作，读作的立方(或的三次方)；那么：(是正整数)呢？

⑵.在小学对于字母我们只能取正数．进入中学后，我们学习了有理数，那么还可以取哪些数呢？举例说明．

2. 乘方： 求个相同因数的积的运算叫做乘方. 乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数． 

，记作，读作的次幂（或的次方）.因此

一般地，在中，取任意有理数，取正整数．

点拨：应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．当看作的次方的结果时，也可以读作的n次幂．

3．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算．

4.计算：

(-1)2 =      (-2)3=       (-3)4=      (-4)5=      (-5)6=   

(+1)2=      (+2)3=      (+3)4=      (+4)5=      (+5)6=      

(1)横向观察：正数的任何次幂都是     数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．

(2)纵向观察：互为相反数的两个数的奇次幂仍            ，偶次幂          ．

(3)任何一个数的偶次幂是什么数？                            

5.计算：

(1)(-3)2，    (-3)3，       ［-(-3)］5；      (2)-32，    -33，     -(-3)5；

 

点拨：有理数乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．任何一个数的偶次幂都是非负数．用符表示为：（是正整数）

①.当时，；②.当时，，；③.当时，；

④当是任意有理数时，.⑤

6. 科学记数法：

⑴.口答：①.说出103，-103，(-10)3的底数、指数、幂．

②.计算：101，102，103，104，105，106，1010

 

 

左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等．但是像太阳的半径大约是696 000千米，光速大约是300 000 000米／秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就要用到科学记数法．

⑵.的特征：观察：， ，， ，

， ，……

点拨：中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数相同，比运算结果的数位少1.

练习(1)：把下面各数写成10的幂的形式．

1000=      ，100000000=      ，100000000000=    。  

练习(2)：指出下列各数是几位数．103，105，1012，10100.

⑶任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式．如：

100=1×100=1×102，    6000=6×1000=6×103，    7500=7.5×1000=7.5×103．

第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100，1000，变成10的n次幂的形式就行了．

⑷科学记数法定义

根据上面例子，我们把大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，n是自然数，这种记数法叫做科学记数法．现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法．说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用．

用字母表示数，则 ，这就是科学记数法．

三、【典例精析】

例1. 计算：(1)(-3)2，   (-3)3，   ［-(-3)］5；   (2)-32，  -33，   -(-3)5；

 

例2.计算：(1).(-1)2001，   3×22，   -42×(-4)2，  -23÷(-2)3；   (2).．

 

例3．当a=-3，b=-5，c=4时，求下列各代数式的值：

(1)(a+b)2；          (2)a2-b2+c2；            (3)(-a+b-c)2；          (4)a2+2ab+b2．

 

 

例4．当a是负数时，判断下列各式是否成立．

(1)a2=(-a)2；                           (2)a3=(-a)3；

 

 

例5*．平方得9的数有几个？是什么？有没有平方得-9的有理数？为什么？

 

 

例6．若(a+1)2+|b-2|=0，求的值．

 

 

例7.用科学记数法表示下列各数：

(1).1 000 000=       ； (2).57 000 000=       ； (3).696 000=       ；

(4).300 000 000=       ； (5).-78 000=       ；   (6).12 000 000 000=       ；

例8．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数？

1×107；       4×103；         8.5×106；     7.04×105；     3.96×104．

 

 

四、【过关精练】

1.的底数是_______，结果是_______.     －32的底数是_______，结果是_______.

(－)4的底数是___，结果是___；  －()4的底数是___，结果是___； －的底数是___，结果是___。

2. ⑴._______；        ⑵. 48÷(－2)5=_______.

3. n为正整数，则（－1）2n=_______,(－1) 2n+1=_______.

4.一个数的平方等于这个数本身，则这个数为__   ___  __.

5.一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是__     _____

6.如果a2=a,那么a的值为（    ）

A.1                 B.0             C.1或0              D.－1

7.一个数的平方等于16，则这个数是（    ）

A.+4                B.－4           C.±4                D.±8[来源:学_科_网Z_X_X_K]

8.a为有理数，则下列说法正确的是（    ）

A.a2>0              B.a2－1>0       C.a2+1>0            D.a3+1>0

9.下列式子中，正确的是（    ）

A.－102=(－10)×(－10)      B.32=3×2     C.(－)3=－××      D.23=32

10.判断：

⑴.若一个数的平方为正数，则这个数一定不为0.（    ）            ⑵（－1）n=－n.（    ）

⑶一个数的平方一定大于这个数.（    ）      ⑷.平方是8的数有2个，它们是±2.（    ）

11. |a+3|+|b－2|=0,求ab的值.

 

 

12.已知x2=(－2)2  ，y3=－1,求：

(1).x×y2003的值.                         (2).的值.

 

13.计算：

(1)(－)3 ；       (2) ； ；           (3)(－3)2×(－2)3 ；         (4)－2×32

 

 (5)(－2×3)2       (6)(－2)14×(－)15           (7)－(－2)4              (8)(－1)2001

 

 (9)－23+(－3)2       (10)(－2)2·(－3)2         （11）(-3)2-(-6)；     (12)(-4×32)-(-4×3)2．

 

 

14．一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒？(用科学记数法表示)

 

 

15．地球绕太阳转动(即地球的公转)每小时约通过1.1×105千米，声音在空气中传播，每小时约通过1.2×103千米．地球公转的速度与声音的速度哪个大？

 

 

 

课题16   有理数的混合运算

一、【学习目标】

1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律；

2．能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算；

3．注意培养的运算能力．

二、【知识梳理】

1．计算(十分钟练习)：

(1)-252；      (2)(-2)3；      (3)32-(-2)2；      (4)(-2)4；        (5)(-4)2；

 

(6)-32；       (7)(-1)101；     (8)021；           (9)-32-(-2)2；      (10) 32-22；

 

(11)32×(-2)2；      (12)-22÷(-3)2；     (13)-(-3)2·(-2)3；      (14)-22×(-3)2；

 

(15)(-2)4÷(-1)；    (16)-7+3-6；      (17)-100-27；       (18)(-3)×(-8)×25；

 

(19)(-616)÷(-28)；               (20)3.4×104÷(-5)．

 

2．有理数的运算律：

加法交换律：a+b=b+a；     加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；     乘法交换律：ab=ba；

乘法结合律：(ab)c=a(bc)；     乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.

3.前面我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，含有以上的混合运算，按怎样的顺序进行运算？

⑴.在只有加减或只有乘除的同一级运算中，按照式子的顺序从左向右依次进行．

⑵.在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．

⑶.在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．

点拨：含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分成整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号相同．

三、【典例精析】

例1.计算：⑴.(－38)－(－24)－(+65)          (2)-2.5×(-4.8)×(0.09)÷(-0.27)； 

问：(1)运算顺序如何？ (2)符号如何？

 

例2.计算：（审题：运算顺序如何？）

(1)(-3)×(-5)2；   (2)［(-3)×(-5)］2；     (3)(-3)2-(-6)；    (4)(-4×32)-(-4×3)2．

 

 

例3.计算：（注意存在哪几级运算？以及运算顺序如何确定？）

⑴(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．  ⑵-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)；   ⑶2×(-3)3-4×(-3)+15．

 

 

例4. 计算：⑴.；   ⑵.；

 

 

 

⑶.；

 

 

 

例5. 当a=-3，b=-5，c=4时，求下列代数式的值：

(1)(a+b)2；         (2)a2-b2+c2；          (3)(-a+b-c)2；        (4) a2+2ab+b2．

 

例6.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求 x2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995值.

解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或-2．

所以 x2-(a+b+cd)x+(a+b)2012+(-cd)2011

=x2-x-1．

当x=2时，原式=x2-x-1=4-2-1=1；

当x=-2时，原式=x2-x-1=4-(-2)-1=5．

总结：有理数混合运算的规律：

1．先         ，再                ，最后             ；

2．同级运算从       到            按顺序运算；

3．若有括号，先小再中最后大，依次计算．

 

四、【过关精练】

1.有理数混合运算的顺序是先算_____ _，再算______，最后算______，如有括号，就先算_____  __.

2.－1－的倒数是_______.[来源:Z§xx§k.Com]3.－1的绝对值与（－2）3的和是_______.

4.(－3)2÷×0－=_______.

3.下列各数中与相等的是（    ）

A.55            B.－55                 C.（－2）5+（－3）5         D.（－2）5－35

4..某数的平方是，则这个数的立方是（    ）

A.             B.－         C.或－              D.+8或－8

5. 10n的意义(n为正整数)是（    ）

A.10个n相乘所得的积                  B.表示一个1后面有n个0的数

C.表示一个1后面有（n－1）个0的数     D.表示一个1后面有(n+1)个0的数

6. n为正整数时，(－1)n+(－1)n+1的值是（    ）

A.2             B.－2               C.0             D.不能确定

7.下列语句中，错误的是（    ）

A.a的相反数是－a；  B.a的绝对值是|a|；   C.(－1)99=－99；   D.－(－22)=4

8.算题：

⑴.－7×6×(－2)                   ⑵.(－20)×(－1)7－0÷(－4)

 

 

 

⑶.(－2)2×(－1)3－3×［－1－(－2)］           ⑷.23－32－(－4)×(－9)×0

 

 

 

9.计算：

(1)23－17－(－7)+(－16)                    (2)+(－)－1+

 

 

 

(3)(－26.54)+(－6.4)－18.54+6.4         (4)(－4)－(－5)+(－4)－3

 

 

 

(5)0+1－［(－1)－(－)－(+5)－(－)］+｜－4｜[来源:学*科*网]

 

 

 

10.当x=－1, y=－2, z=1时，求(x+y)2－(y+z)2－(z+x)2的值.[来源:学科网]

 

 

11.有一架直升飞机从海拔1000米的高原上起飞，第一次上升了1500米，第二次上升上－1200米，第三次上升了1100米，第四次上升了－1700米，求此时这架飞机离海平面多少米？

 

 

 

12.  10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：

2,  3,  －7.5,  －3,  5,  －8,  3.5,  4.5,  8,  －1.5这10名学生的总体重为多少？10名学生的平均体重为多少？

 

 

 

13.  计算：－1－｛(－3)3－［3+×(－1)］÷(－2)｝.     14.计算： (－5)－(－5)×÷×(－5).