数学破题36计第29计 向量开门 数形与共

第29计 向量开门 数形与共

●计名释义

非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.

向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.

 

●典例示范)

【例1】   α,β为锐角，且sinα-sinβ=,cosα-cosβ=，求tan(α-β)之值.

【解答】   如图，设A(cosα,sinα),

B(cosβ,sinβ)为单位圆上两点，

由条件知：0<α<β<.

那么：

=（cosα- cosβ,sinα- sinβ）

=.

∴||=，||=||=1.           例1题解图

△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =.

∴sin(α-β)=,tan(α-β)=.

【点评】   如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量

模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.

【例2】   设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤

【解答】   设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|·|n|=

∵m·n=|m|·ncos（m,n）≤|m|·|n|.    ∴ac+bd≤.

【点评】   难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几

何中又能起作用吗?

 

【例3】   在平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC₁之长为                         .

【思考】   求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC₁与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事?

向量的数量积公式可以保驾护航.

对！走向量法解题的道路.

【解答】   如图所示，

∴

=

=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6

∴||=.                                       例2题解图

【点评】   向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是||²=的运用奇妙.注意：与所成角等于与所成角，是60°而不是120°.

●对应训练

1如图,在棱长为a的正方体

ABCD—A′B′C′D′中，E、F

分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，

求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示).      第1题图

2已知a,b∈R⁺，且a≠b，求证：(a³+b³)²<(a²+b²)(a⁴+b⁴).

3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上.

●参考答案

1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a).  E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).

∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a²+ax+a²=0，

∴⊥.

(2)V_B′—BEF=S_△EEF·||=·(a-x)·x·a

=a(a-x)·x≤a·，

当且仅当a-x=a，即x=时,

(V_B′—BEF)_max =，

此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD.

设垂足为M，连B′M,∵BB′⊥平面ABCD,                 第1题图

由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,

设为θ,∵||=                 ∴tanθ=.

即θ=arctan2，则二面角B′—EF—B的大小为arctan2.

2设m=(a,b)，n=(a²,b²),  ∵m·n≤|m|·|n|.

∴a³+b³≤，即是(a³+b³)²≤(a²+b²)(a⁴+b⁴).

3如图,设A(x₁,)，B(x₂,),

C(x₃，)，△ABC的垂心为H(x₀，y₀),

则,

,                           第3题解图

∵,∴(x₀-x₃)(x₂-x₁)+(y₀-·.

∵x₁≠x₂，∴x₀-x₃.

∴x₀+            (1)

同理：x₀+.

∴x₂-x₁=y₀.

∵x₁≠x₂，∴y₀=-x₁x₂x₃，代入   (1)：x₀-=x₃=0,

∴x₀y₀=1，即H(x₀，y₀)在双曲线xy=1上.