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什么是抽屉原理？我先看几个例子： 10只鸽子飞回3个鸽舍，总有一个鸽舍里飞进的鸽子数不少于4只。这是因为10只鸽子飞进三个鸽舍，10÷3=3(只)…1只，即平均每个鸽舍飞入三只鸽子后，还有1只鸽子没有飞入，因此总有一个鸽舍至少飞进3+1=4只. 有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒?因为袋子中共有红、黄、蓝、白四种颜色的珠子，要想保证摸出的珠子有两粒颜色相同，最差情况是摸出的4粒珠子中红、黄、蓝、白四种颜色的珠子各一个，此时只要再任意摸出一粒，就能保证保证摸出的珠子有两粒颜色相同，即4+1=5粒。 以上这些现象就是我们数学里所说的“抽屉原理”， 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。抽屉原理的一般含义为：把多于n+k个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。它是组合数学中一个重要的原理。 根据抽屉原理还可以得到：把多于mn(m乘以n)（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。 利用上述原理容易证明：某班从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人.统计完37张票后发现：小红15票，小明10票，小华12票.在余下的票中，小红至少再得几张票才能保证以最多票数当选班长？ 解：还剩下没统计：49-(15+10+12)=12(张)， 小红已经比小华多了：15-12=3(张)， 若把这12张平均分给二人： 12÷2=6(张)，每人6张，小红再给小华1张，小华就比小红多分得2张， 小红分的数量6-1=5(张) 所以小红至少再得5张票才能当选。 如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。” 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 看先这个例子： 有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。 再看下面这个例子： 11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。 证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。 【作者：吴国平】 |
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