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1、对称： y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，例如： 与（）关于y轴对称 y=f（x）与y=—f（x）关于x轴对称，例如： 与关于x轴对称 y=f（x）与y=—f（-x）关于原点对称，例如： 与关于原点对称 y=f（x）与y=f（x）关于y=x对称，例如： y=10与y=lgx关于y=x对称 y=f（x）与y=—f（—x）关于y=—x对称，如：y=10与y=—lg（—x）关于y=—x对称 注：偶函数的图象本身就会关于y轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如： 图象本身就会关于y轴对称，的图象本身就会关于原点对称。 y=f（x）与y=f（a—x）关于x=对称（） 注：求y=f（x）关于直线xyc=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由xy+c=0解出x、y再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=0 2、平移： y=f（x）y= f（x+）先向左（>0）或向右（<0）平移||个单位，再保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的倍（若y= f（x+）y=f（x）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的倍，再将整个图象向右（>0）或向左（<0）平移||个单位，即与原先顺序相反） y=f（x）y= f先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的||倍，然后再将整个图象向左（>0）或向右（<0）平移||个单位，（反之亦然）。 3、必须掌握的几种常见函数的图象 1、二次函数y=a+bx+c（a）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值） 2、指数函数（）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系） 3、幂函数（）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a的关系） 4、对数函数y=logx（）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系） 5、y=（a为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间） 6、三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间） 注：三角中的几个恒等关系 sinx+ cosx=11+tanx=secx1+cotx=cscxtanx=1 利用函数图象解题典例 已知分别是方程x +10=3及x+lgx=3的根，求： 分析：x +10=3可化为10=3—x，x+lgx=3可化为lgx=3—x，故此可认为是曲线 y=10、y= lgx与直线y=3—x的两个交点，而此两个交点关于y=x对称，故问题迎刃而解。 答案：3 4、函数中的最值问题： 1、 二次函数最值问题 结合对称轴及定义域进行讨论。 典例：设a∈R，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R，求f（x）的最小值． 考查函数最值的求法及分类讨论思想． 【解】（1）当x≥a时，f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+ 若a≤－时，则f（x）在［a，+∞］上最小值为f（－）=－a 若a>－时，则f（x）在［a，+∞）上单调递增 fmin=f（a）=a2+1 （2）当x≤a时，f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+ 若a≤时，则f（x）在（－∞，单调递减，fmin=f（a）=a2+1 当a>时，则f（x）在（－∞，上最小值为f（）=+a 综上所述，当a≤－时，f（x）的最小值为－a 当－≤a≤时，f（x）的最小值为a2+1 当a>时，f（x）的最小值为+a 2、 利用均值不等式 典例：已知x、y为正数，且x =1，求x 的最大值 分析：x = = （即设法构造定值x =1）= = 故最大值为 注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos ， =sin 求解，（解略） 3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。 4、 利用函数的单调性 典例：求t 的最小值（分析：利用函数y= 在（1，+ ）的单调性求解，解略） 5、 三角换元法（略） 6、 数形结合 例：已知x、y满足x ，求 的最值 5、抽象函数的周期问题 已知函数y=f（x）满足f（x+1）= —f（x），求证：f（x）为周期函数 证明：由已知得f（x）= —f（x —1），所以f（x+1）= —f（x）=— （—f（x —1）） = f（x —1）即f（t）=f（t —2），所以该函数是以2为最小正周期的函数。 解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解 二、圆锥曲线 1、离心率 圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0<e<1）、抛物线（离心率e=1）、双曲线（离心率e>1）。 2、焦半径 椭圆：PF=a+ex、PF=a-ex（左加右减）（其中P为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点、F为椭圆右焦点） 注：椭圆焦点到其相应准线的距离为 双曲线：PF= |ex+a|、PF=| ex-a|（左加右减）（其中P为双曲线上任一点，F为双曲线左焦点、F为双曲线右焦点） 注：双曲线焦点到其相应准线的距离为 抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用） 圆锥曲线中的面积公式：（F、F为焦点） 设P为椭圆上一点，=，则三角形FPF的面积为：b 注：|PF| |PF|cos=b为定值 设P为双曲线上一点，=，则三角形FPF的面积为：b 注：|PF| |PF|sin=b为定值 附：三角形面积公式： S=底高=absinC==r（a+b+c）=（R为外接圆半径，r为内切圆半径）=（这就是著名的海伦公式） 三、数列求和 裂项法：若是等差数列，公差为d（）则求时可用裂项法求解，即=（）= 求导法： （典例见高三练习册p86例9） 倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18） 分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和 求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列即可 四、向量与直线 向量（a，b），（c，d）垂直的充要条件是ac+bd=0 向量（a，b），（c，d）平行的充要条件是ad—bc=0 附：直线Ax+By+C=0与直线Ax+By+C=0垂直的充要条件是AA+ BB=0 直线Ax+By+C=0与直线Ax+By+C=0平行的充要条件是AB-AB=0 向量的夹角公式： cos= 注1：直线的“到角”公式：到的角为tan=；“夹角”公式为tan=|| （“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为之间的角） 注2：异面直线所成角的范围：（0，] 注3：直线倾斜角范围[0，） 注4：直线和平面所成的角[0，] 注5：二面角范围：[0，] 注6：锐角：（0，） 注7：0到的角表示（0，] 注8：第一象限角（2k，2k+） 附：三角和差化积及积化和差公式简记 S+S=SC S+S=CS C+C=CC C—C=—SS 五、集合 1、集合元素个数的计算 card（A ）=card（A）+ card（B）+ card（C）—card（A ）—card（）—card（C A）+card（A B C）（结合图形进行判断可更为迅速） 2、从集合角度来理解充要条件：若A B，则称A为B的充分不必要条件，（即小的可推出大的）此时B为A的必要不充分条件，若A=B，则称A为B的充要条件 经纬度 六、二项展开式系数： C +C +C +…C =2 （其中C + C + C +…=2 ；C +C + C +…=2 ） 例：求（2+3x） 展开式中 1、所有项的系数和 2、奇数项系数的和 3、偶数项系数的和 方法：只要令x为1或—1即可 七、离散型随机变量的期望与方差 E（a +b）=aE +b；E（b）=b D（a +b）=a D ；D（b）=0 D =E —（E ） 特殊分布的期望与方差 （0、1） 分布：期望：E =p；方差D =pq 二项分布： 期望E =np；方差D =npq 注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。 八、圆系、直线系方程 经过某个定点（ ）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k为参数） 一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b为参数） 经过圆f（x、y）与圆（或直线）g（x、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为： f（x、y）+ g（x、y）=0（此方程不能代表g（x、y）=0）；或f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表f（x、y）=0） 附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为 ＝bx＋a，则b＝ a＝ －b |
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一、函数图象
