比例的基本性质

教学内容：比例的意义和基本性质

 

【知识要点归纳】

1．比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。它是判定两个比能否组成比例的依据之一。组成比例的四个数叫做它的项，分为内项和外项。

2．比例的基本性质

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。它是判定两个比能否组成比例的另一重要依据。运用比例的基本性质可以解比例。

3．解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项，叫做解比例。

4．比例尺

（1）比例尺的意义。

图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。表示如下：

图上距离：实际距离=比例尺    或=比例尺

比例尺一般写成“1∶a”或“a∶1”的形式，分为数字比例尺和线段比例尺两种。

5．比例尺的作用

在绘地图和其它平面图的时候，需要把实际距离缩小一定的倍数；在制造精密仪器时，需要把实际尺寸扩大一定倍数后，再画在图纸上。

6．求图上距离和实际距离的方法

一般用方程来解答。即设定要求的量为未知数，然后列成比例式，再用解比例的方式求出未知数。如果计算熟练，也可以直接运用公式解答：

图上距离=实际距离×比例尺   实际距离=图上距离÷比例尺

 

【典型范例剖析】

例1 如果两个比的比值和互为倒数，那么a、b、c、d这四个数可以组成怎样的比例？写出比例式？

分析：由与互为倒数，且的倒数是，可知。

解：a、b、c、d四个数可能组成的比例式为：

①　　　②　　　③　　　④

例2 判定、、、四个数能否组成比例。

分析：判定两个比能否组成比例的方法有两种：一是定义；二是比例的基本性质。运用比例的基本性质判定时，可以将四个数中最大的数与最小的数组成一组，剩下的两个数组成一组，看它们的乘积是不是相等；运用定义作判定时，可以将四个数中较小的两个数组成一个比、让剩下的两个较大的数组成一个比，看它们的比值是否相等。

 

解法一：	解法二：
所以	所以：

 

则、、、可以组成比例

答：、、、四个数可以组成比例。

例3 在比例尺是1：2000的图纸上，量得一个长方形花园的长是2．4厘米，宽是1．8厘米，这个花园的实际面积是多少平方米？

分析：长方形的面积等于长乘以宽，题中告诉了比例尺和图上距离，我们可以直接运用关系式来求出长与宽的实际距离，然后计算花园的实际面积。

解：设长为x厘米，宽为y厘米则有：

 

①	②
x＝2000×2.4	y＝2000×1.8
x＝4800	y＝3600
4800厘米=48米	3600厘米=36米

 

 

③长方形的面积为：48×36＝1728（平方米）

答：这个花园的实际面积是1728平方米

例4 甲的等于乙数的，那么甲比乙少几分之几？

分析：根据比例的基本性质将甲×=乙×写成比例的形式，然后，看甲、乙的分数，最后用“甲比乙少几分之几”的关系式（乙-甲）÷乙，得出结果。

解：由甲×=乙×得，　　　　甲：乙=：=

则甲=乙×，也就是把乙看成单位“1”平均分成21份，甲相当于其中的8份。则

（21-8）÷21=

答：甲比乙少。

 

【解题技巧指点】

1．用求比值的方法组成比例时，注意四个数如何分成两组：一是将较小的两个数分成一组，将较大的两个数分成一组；二是将较小和较大的两组数中的较小的分成一组，较大的分成一组。如：1，2，4，8。可以将1、2和4、8分成两组，即1∶2＝4∶8或2∶1=8∶4，也可以将1、4和2、8分成两组即1∶4＝2∶8或4∶1=8∶2。

2．用比例的基本性质组比例时，分组的方法只有一种，那就是用最小的和最大的组成一组，其余两个组成一组：如3、4、6、8四个数：可以将3、8和4、6组成两组。即：3×8＝4×6

3．利用比例的基本性质判定四个数能组成比例后，一般可以得到四个比例式，这四个比例式的表现形式虽不一样，但都满足“两内项之积等于两外项之积”。

4．运用比例尺解题时，要特别注意单位的统一。如求用60厘米表示30千米的比例尺时，就是用60厘米：30千米=60厘米∶3000000厘米=1∶50000。

 

【课本难题解答】

练习一第8题

分析：根据比例的基本性质，我们可以用等号左边的一个因式分别比等号右边的一个因式，再用等号右边剩下的一个因式比等号左边剩下的一个因式：

解：（1）由3×40＝8×15得3∶8＝15∶40  3∶15＝8∶40  40∶8＝15∶3

40∶15=8∶3 （上述四个比例式的左、右两边还可以调换位置）

（2）由得

　　　　　　

练习一思考题

分析与答案：三人进行田径比赛，有五个项目，就有五个第一名、五个第二名和五个第三名，三人的总分为：

（1+2+5）×5＝40（分）。乙得800米赛跑的第一名，得到5分，那么他其它四项就一共得4分，所以乙得到其它四项的第三名。丙一共得到9分，他不能再得到某项的第一名，所以丙得到100米、400米、跳高、跳远的第二名和800米的第三名。则甲得到800米的第二名和其它四项的第一名。

练习二第10题

分析：题中要求的是平行四边形的实际面积，但未告诉图上距离，我们可以用刻度尺量出平行四边形的底边和高大约为2.5厘米、1.5厘米，再根据求实际距离的公式，求出平行四边形的实际底边和高的长度，最后计算其实际面积。

解：量得平行四边形的底边长2.5厘米，高为1.5厘米，则

①平行四边形的实际底长为：2.5÷=1250厘米

②平行四边形的实际高为：1.5÷=750厘米

1250厘米=12.5米　　　　　　750厘米=7.5米

③平行四边形的面积为： 12.5×7.5＝93.75平方米。

答：实际面积为93.75平方米。

练习二思考题

分析与答案：从图中可以看出：三角形的内角和是180°，即180×（3-2）度；四边形引一条对角线，可以看作两个三角形，所以四边形的内角和是180°×2＝360°，即180×（4-2）度；依此类推，发现n边形的内角和是180×（n-2）度。

 

【发散思维导训】

导1 把“”改成比例的形式，一共能得到哪些不同的比例？

分析：根据比例的定义，要想将乘法关系的两个相等式子，改成相比关系的两个相等式子，我们可以运用乘除互逆的原则来进行变形。即，由“”得“=×2.5÷4.5”进一步，得到“”也就是：。

解：根据题意，能得到的比例是：

①　　　　　　　　②

③4.5：　　　　　　　 ④4.5：2.5=

说明：检验比例是否正确的原则是比例的基本性质。通过上例的检验，我们可以发现：四个比例所变成的两内项之积等于两外项之积都满足一个式子：。

导2 在比例尺是1：6000000的地图上，量得两地距离是5厘米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇。已知甲汽车与乙汽车的速度比是2：3，求甲、乙两辆汽车的速度各是多少千米/时？

分析：这道题实际上是行程问题中的相遇问题，我们要根据题中的比例尺和图上距离，先求出甲、乙两地之间的实际距离：5÷=30000000厘米=300千米。然后运用相遇问题的关系式：S_甲+S_乙＝S_总（S_甲、S_乙、S_总分别表示甲、乙行驶的路程和总路程）来解答问题。

解：甲、乙两地之间的实际距离为：

5÷=30000000厘米=300千米。

设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为x千米/时，则

3x+3×=300     （x=60）

则x=（千米/时）

答：甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时60千米。

导3 青山区小学六年级学生分三组参加植树活动，第一组和第二组人数的比是5：4，第二组和第三组人数的比是3：2，已知第一组人数比第二、三组人数的总和少15人。求六年级参加植树的共有多少人？

分析：先根据各小组之间的比例关系，找出三个组之间的具体比例关系，然后找出与15相对应的分率，从而找出对应的总量：

解：由

得三个组之间的比例关系是：甲：乙：丙=15：12：8。

解法一：15÷（）=105（人）

解法二：设六年级的总人数为x人，则：

     （x=105）

答：六年级共有人数105人。

训1 三人共储蓄780元，现甲从自己的存款中取出100元；乙从自己的存款中取出80元，丙取出本人储蓄的，则三人余下的存款有这样的关系；甲是乙的倍，乙与丙的比是3：2，则甲、乙、丙三人原各有多少存款？

 

 

训2 甲、乙两人骑自行车各从一地同时相向而行，甲行全程要6小时，两人相遇时所行的路程比是3：2，这时甲比乙多行18千米，求乙每小时行多少千米。

 

 

训3 甲、乙两仓库原有水泥袋数的比是4：3，甲仓库用去48袋后，甲、乙两仓库水泥袋数的比是2：3，甲、乙两仓库原有水泥各多少袋？

 

【同步达纲练习】

 

【作业优化设计】

1．填空。

（1）4∶0.5的比值是（    ），12∶15的比值是（    ）。

（2）的比值是（    ），与它的比值相等的最简比是（    ），两个比组成的比例是（    ）。

（3）如果5a＝8b，那么（    ）：（    ）＝5：8。

（4）如果，那么m∶n＝（    ）：（    ）。

（5）用3、6、2、9四个数组成两个不同的比例是（              ）。

（6）图上20厘米表示实际10千米，这幅地图的比例尺是（          ）。

（7）比例尺1：5000000，表示地图上1厘米的距离表示地面上实际上（    ）千米。

（8）这是（    ）例尺，它表示图上（    ）的距离，相当于实际距离（    ）千米。

（9）比例尺4：1是表示把实际距离（    ）。

（10）图上的距离是实际距离的10倍，画在地图上、所用的比例尺是（    ），如画一个零件在图纸上是20厘米，实际上这个零件的长度为（        ）。

2．判断。（对的打“√”，错的打“×”）

（1）两个比组成的式子叫比例。（    ）

（2）由2、3、4、5四个数可以组成比例。（    ）

（3）因为3x=4y，所以。（    ）

（4）在比例尺是的图纸上量得一条小路长1厘米，这条小路实际长1千米。（    ）

（5）图上长4厘米的线段表示实际长20千米，则这幅图的比例尺是1：5000。（    ）

3．选择题。

（1）能与组成比例的是（    ）。

①2：3

②3：2

③

④

（2）下列各组数中可以组成比例的是（    ）。

①0、1、3、6

②2、3、4、6

③5、6、8、9

④1、2、3、4

（3）能与、1、组成比例的数有（    ）个。

①0

②1

③2

④3

（4）在比例尺是的地图上量得两地之间的距离是4厘米，则两地之间的实际距离是（    ）千米。

①24000000

②24000

③2400

④240

（5）一个工厂的长是600米，画在比例尺是的地图上是（    ）厘米。

①6

②15

③4

④1

（6）在一个比例式中，两个比的比值是4，这两个比的内项都是6，这个比例式是（    ）。

①24：6＝6：65

②1.5：6＝6：24

③6：1.5＝24：6

（7）一个三角形的三个内角的比是2：3：5，这个三角形是（    ）三角形。

①直角

②锐角

③钝角

④等腰

（8）在中，x等于（    ）才能组成比例。

①1.5

②

③2

④1

4．根据下列要求写出比例式。

（1）使它的各项都是整数，而且两个比的比值是5。

 

 

（2）使它的内项相等，而且两个比的比值都是。

 

 

（3）使它的两个内项互为倒数。

 

 

5．解比例。

（1）                  （2）

 

（3）              （4）x:

 

6．应用题。

(1)两地之间的距离是600千米，画在地图上用3厘米的线段来表示，那么这幅地图的比例尺是多少？

 

 

（2）在比例尺为1：20000的图纸上，量出一个操场的宽为2厘米，长为3厘米，它的实际面积是多少平方米？

 

 

(3)在比例尺为1：3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.6厘米，如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？

 

 

（4）在一幅比例尺是1：200000O的地图上，量得甲、乙两地的距离是20厘米。如果在另一幅地图上，甲、乙两地的距离是10厘米，另一幅地图的比例尺是多少？

 

【快乐大本营】

放大比例尺

在比例尺为100：1的图纸上，量得一个零件的长是15厘米，这个零件的实际长度是多少厘米？试比较这个零件图上长度和实际长度的大小。

 

【作业优化设计】

1．（1）8，   （2），3：160，：20=3：160  （3）b：a  （4）7:11  （5）略  （6）  （7）50  （8）线段比，1 ，20  （9）扩大4倍  （10）10：1，2厘米

2．（1）×  （2）×  （3）√  （4）×  （5）×

3．（1）①  （2）②  （3）④  （4）④  （5）②  （6）②  （7）②

4．略

5．（1）x=30  （2）x=1  （3）  （4）x=

6．（1）1：20000000  （2）240000平方米  （3）1.8小时  （4）1：4000000

 

【快乐大本营】

0.15厘米，图上长度大于实际长度