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比例的基本性质

2016-01-17  家庭主妇8...

教学内容:比例的意义和基本性质

 

【知识要点归纳】

1.比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。它是判定两个比能否组成比例的依据之一。组成比例的四个数叫做它的项,分为内项和外项。

2.比例的基本性质

在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。它是判定两个比能否组成比例的另一重要依据。运用比例的基本性质可以解比例。

3.解比例

根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项,叫做解比例。

4.比例尺

1)比例尺的意义。

图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。表示如下:

图上距离:实际距离=比例尺    或=比例尺

比例尺一般写成“1∶a”或“a∶1”的形式,分为数字比例尺和线段比例尺两种。

5.比例尺的作用

在绘地图和其它平面图的时候,需要把实际距离缩小一定的倍数;在制造精密仪器时,需要把实际尺寸扩大一定倍数后,再画在图纸上。

6.求图上距离和实际距离的方法

一般用方程来解答。即设定要求的量为未知数,然后列成比例式,再用解比例的方式求出未知数。如果计算熟练,也可以直接运用公式解答:

图上距离=实际距离×比例尺   实际距离=图上距离÷比例尺

 

【典型范例剖析】

1 如果两个比的比值互为倒数,那么a、b、c、d这四个数可以组成怎样的比例?写出比例式?

分析:由互为倒数,且的倒数是,可知

解:a、b、c、d四个数可能组成的比例式为:

   ②   ③   ④

2 判定四个数能否组成比例。

分析:判定两个比能否组成比例的方法有两种:一是定义;二是比例的基本性质。运用比例的基本性质判定时,可以将四个数中最大的数与最小的数组成一组,剩下的两个数组成一组,看它们的乘积是不是相等;运用定义作判定时,可以将四个数中较小的两个数组成一个比、让剩下的两个较大的数组成一个比,看它们的比值是否相等。

 

解法一:

解法二:

    

    

所以

所以:

 

可以组成比例

答:四个数可以组成比例。

3 在比例尺是1:2000的图纸上,量得一个长方形花园的长是2.4厘米,宽是1.8厘米,这个花园的实际面积是多少平方米?

分析:长方形的面积等于长乘以宽,题中告诉了比例尺和图上距离,我们可以直接运用关系式来求出长与宽的实际距离,然后计算花园的实际面积。

解:设长为x厘米,宽为y厘米则有:

 

x=2000×2.4

y=2000×1.8

x=4800

y=3600

4800厘米=48米

3600厘米=36米

 

 

③长方形的面积为:48×36=1728(平方米)

答:这个花园的实际面积是1728平方米

4 甲的等于乙数的,那么甲比乙少几分之几?

分析:根据比例的基本性质将甲×=乙×写成比例的形式,然后,看甲、乙的分数,最后用“甲比乙少几分之几”的关系式(乙-甲)÷乙,得出结果。

解:由甲×=乙×得,    甲:乙==

则甲=乙×,也就是把乙看成单位“1”平均分成21份,甲相当于其中的8份。则

21-8)÷21=

答:甲比乙少

 

【解题技巧指点】

1.用求比值的方法组成比例时,注意四个数如何分成两组:一是将较小的两个数分成一组,将较大的两个数分成一组;二是将较小和较大的两组数中的较小的分成一组,较大的分成一组。如:1,2,4,8。可以将1、2和4、8分成两组,即1∶2=4∶8或2∶1=8∶4,也可以将1、4和2、8分成两组即1∶4=2∶8或4∶1=8∶2。

2.用比例的基本性质组比例时,分组的方法只有一种,那就是用最小的和最大的组成一组,其余两个组成一组:如3、4、6、8四个数:可以将3、8和4、6组成两组。即:3×8=4×6

3.利用比例的基本性质判定四个数能组成比例后,一般可以得到四个比例式,这四个比例式的表现形式虽不一样,但都满足“两内项之积等于两外项之积”。

4.运用比例尺解题时,要特别注意单位的统一。如求用60厘米表示30千米的比例尺时,就是用60厘米:30千米=60厘米∶3000000厘米=1∶50000。

 

【课本难题解答】

练习一第8题

分析:根据比例的基本性质,我们可以用等号左边的一个因式分别比等号右边的一个因式,再用等号右边剩下的一个因式比等号左边剩下的一个因式:

解:(1)由3×40=8×15得3∶8=15∶40  3∶15=8∶40  40∶8=15∶3

40∶15=8∶3 (上述四个比例式的左、右两边还可以调换位置)

2)由

      

练习一思考题

分析与答案:三人进行田径比赛,有五个项目,就有五个第一名、五个第二名和五个第三名,三人的总分为:

1+2+5)×5=40(分)。乙得800米赛跑的第一名,得到5分,那么他其它四项就一共得4分,所以乙得到其它四项的第三名。丙一共得到9分,他不能再得到某项的第一名,所以丙得到100米、400米、跳高、跳远的第二名和800米的第三名。则甲得到800米的第二名和其它四项的第一名。

练习二第10题

分析:题中要求的是平行四边形的实际面积,但未告诉图上距离,我们可以用刻度尺量出平行四边形的底边和高大约为2.5厘米、1.5厘米,再根据求实际距离的公式,求出平行四边形的实际底边和高的长度,最后计算其实际面积。

解:量得平行四边形的底边长2.5厘米,高为1.5厘米,则

①平行四边形的实际底长为:2.5÷=1250厘米

②平行四边形的实际高为:1.5÷=750厘米

1250厘米=12.5米      750厘米=7.5米

③平行四边形的面积为: 12.5×7.5=93.75平方米。

答:实际面积为93.75平方米。

练习二思考题

分析与答案:从图中可以看出:三角形的内角和是180°,即180×(3-2)度;四边形引一条对角线,可以看作两个三角形,所以四边形的内角和是180°×2=360°,即180×(4-2)度;依此类推,发现n边形的内角和是180×(n-2)度。

 

【发散思维导训】

1 把“”改成比例的形式,一共能得到哪些不同的比例?

分析:根据比例的定义,要想将乘法关系的两个相等式子,改成相比关系的两个相等式子,我们可以运用乘除互逆的原则来进行变形。即,由“”得“=×2.5÷4.5”进一步,得到“”也就是:

解:根据题意,能得到的比例是:

        ②

4.5:        ④4.5:2.5=

说明:检验比例是否正确的原则是比例的基本性质。通过上例的检验,我们可以发现:四个比例所变成的两内项之积等于两外项之积都满足一个式子:

2 在比例尺是1:6000000的地图上,量得两地距离是5厘米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行,3小时后两车相遇。已知甲汽车与乙汽车的速度比是2:3,求甲、乙两辆汽车的速度各是多少千米/时?

分析:这道题实际上是行程问题中的相遇问题,我们要根据题中的比例尺和图上距离,先求出甲、乙两地之间的实际距离:=30000000厘米=300千米。然后运用相遇问题的关系式:S+S=S(S、S、S分别表示甲、乙行驶的路程和总路程)来解答问题。

解:甲、乙两地之间的实际距离为:

=30000000厘米=300千米。

设乙的速度为x千米/时,则甲的速度为x千米/时,则

3x+3×=300     (x=60)

x=(千米/时)

答:甲车速度为每小时40千米,乙车速度为每小时60千米。

3 青山区小学六年级学生分三组参加植树活动,第一组和第二组人数的比是5:4,第二组和第三组人数的比是3:2,已知第一组人数比第二、三组人数的总和少15人。求六年级参加植树的共有多少人?

分析:先根据各小组之间的比例关系,找出三个组之间的具体比例关系,然后找出与15相对应的分率,从而找出对应的总量:

解:由

得三个组之间的比例关系是:甲:乙:丙=15:12:8。

解法一:15÷()=105(人)

解法二:设六年级的总人数为x人,则:

     (x=105)

答:六年级共有人数105人。

1 三人共储蓄780元,现甲从自己的存款中取出100元;乙从自己的存款中取出80元,丙取出本人储蓄的,则三人余下的存款有这样的关系;甲是乙的倍,乙与丙的比是3:2,则甲、乙、丙三人原各有多少存款?

 

 

2 甲、乙两人骑自行车各从一地同时相向而行,甲行全程要6小时,两人相遇时所行的路程比是3:2,这时甲比乙多行18千米,求乙每小时行多少千米。

 

 

3 甲、乙两仓库原有水泥袋数的比是4:3,甲仓库用去48袋后,甲、乙两仓库水泥袋数的比是2:3,甲、乙两仓库原有水泥各多少袋?

 

【同步达纲练习】

 

【作业优化设计】

1.填空。

1)4∶0.5的比值是(    ),12∶15的比值是(    )。

2)的比值是(    ),与它的比值相等的最简比是(    ),两个比组成的比例是(    )。

3)如果5a=8b,那么(    ):(    )=5:8。

4)如果,那么m∶n=(    ):(    )。

5)用3、6、2、9四个数组成两个不同的比例是(              )。

6)图上20厘米表示实际10千米,这幅地图的比例尺是(          )。

7)比例尺1:5000000,表示地图上1厘米的距离表示地面上实际上(    )千米。

8)这是(    )例尺,它表示图上(    )的距离,相当于实际距离(    )千米。

9)比例尺4:1是表示把实际距离(    )。

10)图上的距离是实际距离的10倍,画在地图上、所用的比例尺是(    ),如画一个零件在图纸上是20厘米,实际上这个零件的长度为(        )。

2.判断。(对的打“√”,错的打“×”)

1)两个比组成的式子叫比例。(    )

2)由2、3、4、5四个数可以组成比例。(    )

3)因为3x=4y,所以。(    )

4)在比例尺是的图纸上量得一条小路长1厘米,这条小路实际长1千米。(    )

5)图上长4厘米的线段表示实际长20千米,则这幅图的比例尺是1:5000。(    )

3.选择题。

1)能与组成比例的是(    )。

2:3

3:2

2)下列各组数中可以组成比例的是(    )。

0、1、3、6

2、3、4、6

5、6、8、9

1、2、3、4

3)能与、1、组成比例的数有(    )个。

0

1

2

3

4)在比例尺是的地图上量得两地之间的距离是4厘米,则两地之间的实际距离是(    )千米。

24000000

24000

2400

240

5)一个工厂的长是600米,画在比例尺是的地图上是(    )厘米。

6

15

4

1

6)在一个比例式中,两个比的比值是4,这两个比的内项都是6,这个比例式是(    )。

24:6=6:65

1.5:6=6:24

6:1.5=24:6

7)一个三角形的三个内角的比是2:3:5,这个三角形是(    )三角形。

①直角

②锐角

③钝角

④等腰

8)在中,x等于(    )才能组成比例。

1.5

2

1

4.根据下列要求写出比例式。

1)使它的各项都是整数,而且两个比的比值是5。

 

 

2)使它的内项相等,而且两个比的比值都是

 

 

3)使它的两个内项互为倒数。

 

 

5.解比例。

1)                  (2)

 

3)              (4)x:

 

6.应用题。

(1)两地之间的距离是600千米,画在地图上用3厘米的线段来表示,那么这幅地图的比例尺是多少?

 

 

2)在比例尺为1:20000的图纸上,量出一个操场的宽为2厘米,长为3厘米,它的实际面积是多少平方米?

 

 

(3)在比例尺为1:3000000的地图上,量得甲、乙两地的距离为3.6厘米,如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地,多少小时可以到达?

 

 

4)在一幅比例尺是1:200000O的地图上,量得甲、乙两地的距离是20厘米。如果在另一幅地图上,甲、乙两地的距离是10厘米,另一幅地图的比例尺是多少?

 

【快乐大本营】

放大比例尺

在比例尺为1001的图纸上,量得一个零件的长是15厘米,这个零件的实际长度是多少厘米?试比较这个零件图上长度和实际长度的大小。

 

【作业优化设计】

1.(1)8,   (2),3:160,:20=3:160  (3)b:a  (4)7:11  (5)略  (6)  (7)50  (8)线段比,1 ,20  (9)扩大4倍  (10)10:1,2厘米

2.(1)×  (2)×  (3)√  (4)×  (5)×

3.(1)①  (2)②  (3)④  (4)④  (5)②  (6)②  (7)②

4.略

5.(1)x=30  (2)x=1  (3)  (4)x=

6.(1)1:20000000  (2)240000平方米  (3)1.8小时  (4)1:4000000

 

【快乐大本营】

0.15厘米,图上长度大于实际长度

 

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