二次函数图象与系数的关系

二次函数图象与系数的关系

二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与系数的关系：

（1）a＞0，开口向上；a＜0，开口向上．

（2）c＞0，与y轴交点在原点上方；c＝0，经过原点；

c＜0，与y轴交点在原点下方．

（3）a，b同号，－＜0，抛物线对称轴在y轴左侧；

a，b异号，－＞0，抛物线对称轴在y轴右侧；口诀：左同右异．

 （4）b²－4ac＞0，与x轴有两个交点；b²－4ac＝0，与x轴有且只有1个交点；b²－4ac＜0，与x轴没有交点．

【典型例题】——二次函数的系数

026．（2014年四川资阳）二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：

①4ac－b²＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m(am＋b)＋b＜a（m≠－1），

其中正确结论的个数是（　　）．

    A．4个  B． 3个 C． 2个 D． 1个

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【解析】

解：∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b²﹣4ac＞0，∴4ac﹣b²＜0，

∴①正确；

∵对称轴是直线x－1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，

∴抛物线和x轴的另一个交点在（－3，0）和（－2，0）之间，

∴把（－2，0）代入抛物线得：y＝4a－2b＋c＞0，∴4a＋c＞2b，∴②错误；

∵把（1，0）代入抛物线得：y＝a＋b＋c＜0，∴2a＋2b＋2c＜0，∵b＝2a，

∴3b，2c＜0，∴③正确；

∵抛物线的对称轴是直线x＝－1，∴y＝a﹣b＋c的值最大，

即把（m，0）（m≠0）代入得：y＝am²＋bm＋c＜a－b＋c，∴am²＋bm＋b＜a，

即m(am＋b)＋b＜a，∴④正确；

即正确的有3个，故答案为：B．

【总结】二次函数图象与x轴的交点来判断Δ＝b²－4ac的取值范围；含a，b，c的不等式可以转化成图象中点的纵坐标y与0的关系，如4a－2b＋c相当于x＝－2时y的值；只含有a与b，b与c或a与c时，应考虑对称轴x＝－与±1的关系，得出a与b之间的等量关系代入化简；遇到m(am＋b)＋b＜a可以考虑顶点坐标．

【举一反三】

026．（14贵港）已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b²－4ac＞0；③3a＋c＞0；④（a＋c）²＜b²，

其中正确的结论有（　　）．

 A．1个  B． 2个 C． 3个 D． 4个

上一期【举一反三】解析

025【解析】

解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，

由图知当x＝－1时，y＝－k＞1，∴k＜－1，∴抛物线y＝2kx²－4x＋k²开口向下，

对称轴为
，∴对称轴在－1与0之间，

故答案为：D．

【总结】由反比例函数的图象可得k＜0，可得二次函数的开口向上，再根据二次项系数a＝2k与一次项系数b＝－4是同号的，可得二次函数的对称轴在原点左侧．