线性代数知识体系

Zzyx1988 2016-03-01

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为了解线性方程组，我们引入了线性代数中两个重要的研究对象：向量空间和矩阵。

线性方程组的一般形式为：

引入矩阵后，转化为非常简洁的矩阵方程形式：

而引入向量空间后，线性方程组就变为向量方程：

其中，

并设矩阵 A 的列向量组为：

下面来讨论向量空间和矩阵之间的联系！
数学中最重要的两个研究对象就是：集合与映射！ n 维向量空间就是一个全体 n 维向量所构成的集合，而矩阵就是两个向量空间之间的一种映射。

这种观点对理解矩阵的本质非常有益！务必加以重视。
为了进一步研究的需要，我们再将向量空间和矩阵分别抽象为线性空间和线性变换，它们之间的关系就是具体和抽象的关系！当然，取定一组基之后，这两者又紧密地联系起来了。
线性代数有两大基本任务：
寻找矩阵在初等变换下的不变量：秩！一旦找到，矩阵的秩就为我们彻底地解决线性方程组的三大理论问题提供了重要判据。
解的结构性就是用非齐次的特解 + 齐次的通解表示一般解。
寻找矩阵在各种等价关系(相抵、相合、相似、正交相似等)下的标准型。

然而，通常的线性空间没有度量(向量的长度、夹角、垂直等)的概念，这就限制了线性空间的广泛应用，因此需要引入二次型和双线性函数来构造内积，这样就导出了内积空间，当然相应的线性变换就升华为与内积有关的线性变换：正交变换、对称变换等。继续前行的话，就是各种空间和算子理论。

对线性代数的框架有了基本的认知后，下面我们分别来讨论矩阵和向量空间。我们首先看矩阵。

一、矩阵

矩阵这部分内容主要是围绕着矩阵的运算和性质来展开的。

在线性代数中，矩阵主要有如下类型的运算：

线性运算：加法和数乘。既然是线性代数，就应该有这两类运算。
乘法运算：这是矩阵中最最最重要的运算，没有之一！！！
一元运算：转置、共轭、伴随、求逆。
矩阵函数：行列式，迹、秩，这是三个刻画矩阵的重要数量。

像线性运算、转置、共轭、伴随、迹在这里就不过多讨论了。另外矩阵的秩我们放到向量空间中再来讨论。下面着重讨论矩阵的乘法、求逆(就是初等变换，相当于除法)【我个人喜欢把矩阵的初等变换看作矩阵乘法的逆运算，即求逆】和行列式。大家对初等变换要给予充分的重视，因为几乎线性代数中所有的运算都可以用矩阵的初等变换来加以解决。

下面是和初等变换、逆矩阵有关的一些重要结论：

关于矩阵运算的性质我们在文末再列出来。下面我们来讨论向量空间。

二、向量空间

在数学物理中，通常把一般复杂的情况转化为特殊简单的情形。比如：

将曲边梯形的面积转化为矩形的面积。
将变力做功转化为恒力做功。
将一般的矩阵转化为阶梯形矩阵。
将一般行列式化为三角形行列式。

非齐次线性方程组的一般解可表示为其自身的特解再加上齐次线性方程组的通解。因此我们首先来讨论齐次线性方程组。

齐次线性方程组

的解只有两种情况：只有零解、有非零解。

由齐次线性方程组是否有非零解分别引出了线性相关、线性无关的概念。如果一个向量组是线性相关的，那么其中必有一个向量可以由其余向量线性表示，将其删除直至剩下的向量组是线性无关的，这样我们就得到了向量组的极大线性无关组，进而有向量组的秩的概念，然后由此定义矩阵的秩。一旦有了矩阵的秩这一深刻的概念，线性方程组的三大理论问题(解的存在性、数量性、结构性)马上就迎刃而解了。

接下来我们讨论方阵的行列式。

三、行列式

根据性质定义距离.

根据性质定义行列式

行列式按一行展开定理

最后我们来讨论矩阵的特征值和特征向量。

四、特征值和特征向量

既然矩阵是一种映射，当这个映射保持某些性质不变时，这种性质就是该矩阵的某种特征。因此，如果矩阵保持一个向量的方向不变，则这个向量就是矩阵的特征向量。即若

就称为矩阵 A 的特征向量，而称为矩阵 A 的特征值。

一个矩阵的性质完全由其特征值和特征向量决定。这可以按如下两种方式理解：

(1)

(2)