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函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点. 命题热点二 函数与导数 高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题. 预测1. 函数 在区间 上有最小值，则函数 在区间 上一定 A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 解析：函数 图像的对称轴为 ，依题意有 ，所以 ， 在 上递减，在 上递增，故 在 上也递增，无最值，选D. 动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数，高考有着较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值问题时，要善于运用基本不等式以及函数 的单调性进行求解. 预测2. 如图，当参数 分别取 时，函数 的部分图像分别对应曲线 ，则有 A. B. C. D. 解析：由于函数 的图像在 上连续不间断，所以必有 .又因为当 时，由图像可知 ，故 ，所以选A. 动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时，要善于根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围. 预测3. 已知函数 的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线 垂直的切线，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 解析： ，曲线C不存在与直线 垂直的切线，即曲线C不存在斜率等于 的切线，亦即方程 无解， ，故 ，因此 . 动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以“切点”为核心，并注意对问题进行转化. 预测4. （理科）已知函数 为R上的单调函数，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 解析：若 在R上单调递增，则有 ， 无解；若 在R上单调递减，则有 ，解得 ，综上实数 的取值范围是 .故选A. 动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值. （文科） 已知函数 为R上的单调函数，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 解析：若 在R上单调递增，则有 ，解得 ；若 在R上单调递减，则有 ， 无解，综上实数 的取值范围是 . 动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值. 预测5. （理科）设函数 ，其中 .（1）若 ，求 在 的最小值；（2）如果 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数 ，使得当 时，不等式 恒成立. 解析：（1）由题意知， 的定义域为 ， 时，由 ，得 （ 舍去）， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增， 所以 ； （2）由题意 在 有两个不等实根，即 在 有两个不等实根， 设 ，则 ，解之得 ； （3）对于函数 ，令函数 ， 则 ， ， 所以函数 在 上单调递增，又 时，恒有 ， 即 恒成立.取 ，则有 恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当 时，不等式 恒成立. 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. （文科）已知函数 .（1）当 时，求函数 的最小值；（2）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围. 解析：（1）当 时， ，定义域为 . ，令 ，得 （ 舍去），当 变化时， ， 的变化情况如下表:
所以函数 在 时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值 . （2）由于 ，所以由题意知， 在 上恒成立. 即 ，所以 在 上恒成立，即 . 令 ，而 ，当 时 ，所以 在 上递减，故 在 上得最大值为 ，因此要使 恒成立，应有 . 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.
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