【知识点】直线、圆的位置关系

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圆的切线方程

【知识点的认识】

圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．

圆的切线方程的类型：

（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程

（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．

圆的切线方程

【实例解析】

例1：已知圆：（x-1）²+y²=2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为．

 解：圆：（x-1）²+y²=2，的圆心为C（1，0），半径r=

①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x=2，

∵圆心到直线x=2的距离等于1≠

∴直线l与圆不相切，即x=2不符合题意；

②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0．

∵直线l与圆：（x-1）²+y²=2相切，

∴圆心到直线l的距离等于半径，即，解之得k=-1，

因此直线l的方程为y-1=-（x-2），化简得x+y-3=0．

综上所述，可得所求切线方程为x+y-3=0．

这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．

例2：从点P（4，5）向圆（x-2）²+y²=4引切线，则圆的切线方程为．

解：由圆（x-2）2+y2=4，得到圆心坐标为（2，0），半径r=2，

当过P的切线斜率不存在时，直线x=4满足题意；

当过P的切线斜率存在时，设为k，

由P坐标为（4，5），可得切线方程为y-5=k（x-4），即kx-y+5-4k=0，

∴圆心到切线的距离d=r，即
解得：k=21／20，

此时切线的方程为y-5=21／20（x-4），即21x-20y+16=0，

综上，圆的切线方程为x=4或21x-20y+16=0．

这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．

【考点分析】

本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．

 

直线与圆相交的性质

【知识点的认识】

直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：

①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；

②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；

③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离

 

直线与圆相交的性质

【实例解析】

例：写出直线y=x+m与圆x²+y²=1相交的一个必要不充分条件：

 解：直线x-y+m=0若与圆x²+y²=1相交，

则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，

即d=|m|／＜1，

∴|m|＜

即?＜m＜，

∴满足?＜m＜，

的必要不充分条件均可．

故答案为：满足?＜m＜，的必要不充分条件均可．

这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．

【考点解析】

本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．

 

直线与圆的位置关系

【知识点的认识】

1．直线与圆的位置关系

 

2．判断直线与圆的位置关系的方法

直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）的位置关系的判断方法：

（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．

     圆心到直线的距离

     ①相交：d＜r

     ②相切：d=r

     ③相离：d＞r

（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．

由Ax+By+C＝0

x2+y2+Dx+Ey+F＝0

消元，得到一元二次方程的判别式△

     ①相交：△＞0

     ②相切：△=0

     ③相离：△＜0

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