陈轶讲坛|函数综合问题（2）相似三角形的点的存在性问题

相似三角形的点的存在性问题

相似三角形的点的存在性问题是中考卷及其模拟卷压轴题中的常见题型．在平面直角坐标系中，根据题目给出的条件结合常见的基本图形，结合相似三角形的相关性质解题是解决此类问题常用的策略．此类题目往往是多解题目

例1

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax^2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标

思路点拨

1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．

2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．

3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

满分解答

例2

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx(A≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)

思路点拨

1．根据已知条件可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；

2．综合利用几何变换和相似关系求解．

方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；

方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．

特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．

满分解答

本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点