2016年高考数学江苏卷压轴题详解

今年的江苏卷较之去年要简单不少．填空题倒数第二题考查向量的“极化恒等式”，在江苏的各类模拟卷中已知屡见不鲜了，对认真复习的同学没有什么难度．填空题最后一题将三角恒等变换和不等式有机的结合起来，是一道不错的题目．不过设问方式以及所求结论的形式可能会让大部分同学“心中一凛”，难度还是不小的．直线与圆的大题比2013年的要逊色不少，函数大题的答案很容易猜到，稍加论证即可．压轴题明显较去年温柔很多，不仅给了充足的提示，而且最后一小题把解题用到的字母都预留好了……附加卷的两道题中规中矩，配合整卷完成了对知识的全面考查．总的来说，今年江苏卷命题水平在全国九卷中还是稳居前三的．

第13题（填空倒数第二题）：

如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是______．

解　极化恒等式　我们熟知极化恒等式利用它可以将不好计算的数量积转化为好计算的线段长度．本题中有而于是不难计算得，，进而

基底化　设，，根据题意有
整理得于是

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第14题（填空压轴题）：

在锐角三角形中，若，则的最小值是_______ ．

解　注意到题中条件两边的次数不齐，考虑将改写为，于是有朝结论靠拢，有我们熟知在锐角中有于是从而等号当时取得．

经验证，当，，时可以取得等号，因此的最小值是．

拓展　在非直角中，有整理即得这个三角恒等式曾多次在各个高校的自主招生试题中出现．

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第18题（解析几何）：

如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．(1) 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；

(2) 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；

(3) 设满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．

解　(1) 将圆的方程整理为标准方程：．由于圆与圆的圆心连线与轴垂直，于是圆与轴和圆的切点分别是和，进而其标准方程为

(2) 由题意，，于是圆心到直线的距离为又直线的斜率为，设其方程为，则有解得或，因此直线的方程是或．

(3) 由题意，．而可以在圆上任取，因此可以表示任何长度不超过圆的直径的向量．

于是问题等价于点在圆的圆内部(包含边界)，即解得因此实数的取值范围是．

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第19题（导数）：

已知函数()．

(1) 设，．

(i) 求方程的根；

(ii) 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

(2) 若，，函数有且只有个零点，求的值．

解　(1)(i) 方程即，也即，因此它的根是．

(ii) 原命题即也即对一切实数均成立．由第(1)小题，当时，，此时右侧函数取得最小值为．因此实数的最大值是．

(2) 函数的导函数令，则单调递增，且有唯一零点，其中满足进而函数在处取得极小值，亦为最小值．由于，进行如下讨论．

情形一　．

此时必然有，取，，则显然有，且，此时函数在区间和区间内都存在零点，不符合题意．

情形二　．

此时函数在上单调递减，在上单调递增，而，因此函数有唯一零点，符合题意．

综上所述，，进而可得，从而．

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第20题（压轴题）：

记．对数列()和的子集，若，定义；若，定义．例如：时，．现设()是公比为的等比数列，且当时，．

(1) 求数列的通项公式；

(2) 对任意正整数()，若，求证：；

(3) 设，，，求证：．

解　(1) 根据题意有，从而，因此所求通项公式为

(2) 根据题意，有因此命题得证．

(3) 设集合集合则因此条件即，而当时命题显然成立，接下来考虑的情形．设此时集合中的最大元素为，集合中的最大元素为，则由于和没有公共元素，因此．

情形一　．

此时由第(2)小题结论，有矛盾．

情形二　．

此时与第(2)小题的论证过程类似，有因此有，命题得证．

综上所述，原命题得证．

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第22题（解析几何）：

如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线()．

(1) 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；

(2) 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．

(i) 求证：线段的中点坐标为；

(ii) 求的取值范围．

解　(1) 直线的横截距为，于是，从而抛物线的方程为．

(2)(i) 设，，则的斜率从而，因此线段的中点的纵坐标，进而由中点在直线上可得其坐标为．

(ii) 由(i)，可得因此题意即圆()和直线有两个公共点．进而可得解得的取值范围是．

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第23题（附加卷最后一题）：

(1) 求的值；

(2) 设，，求证：

解　(1) ，而，于是

(2) 在第(1)小题的提示下，我们可以证明，于是又由于，于是这样就证明了题中的等式．

注　考虑到欲证明结论是一个有关正整数的等式，因此(2)必然可以用数学归纳法证明．

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