【数学思维】—角平分线

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1、如图，已知AM为△ABC的角平分线，

   求证：AB:AC=MB:MC。

         

提给条件只有

三角形和角平分线，

求证的是比例关系。

我们能想到通过角

相等得到三角形相似，接下来的问题

就是构造怎样的三

角形呢？

分析

初通过构造三角形，得到三角形相似，然后得到比例关系。

问题是构造怎么样的相似三角形呢？——我们从问题出发：

在三角形AMC中M顶角处构造三角形。辅助线如下：

延长AM，过点B作

BD//AC交AM延长线

于点D。这样易得

△AMC∽△DMB，

这样再说明BD=AB就好

答案：

延长AM，过点B作BD//AC交AM延长线于点D，

所以：∠D=∠CAM 又∠BMD=∠CMA

所以：△AMC∽△DMB

所以：BD:AC=MB:MC

又AM是角平分线

所以：∠BAM=∠CAM

所以：∠D=∠BAM

所以：AB=BD

所以：AB：AC=MB：MC

从上面这道简单的证明题，我们可以发现，如果我们做题前对“延长角平分线可以得到平行四边形”的现象当熟悉的话，解题很容易！那么数学素养很重要的是对题给条件的敏感度，能快速地联想到应该用的性质或定理，我们把这种能力叫做思维惯性。那么我们这里把较常见的几类思维惯性，逐个给做下总结，

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二、角平分线类

角平分线+延长——“容易得到平行四边形”

角平分线+角相等——“相似或全等三角形”

角平分线+垂直——“角平分线上的点到角两边的距离相等”

角平分线+圆——“三角形的内心是角平分线的的交点”

角平分线+中点——“三线合一”

角平分线+高——“三线合一或等角的余角相等”

角平分线+圆中弦—— “等角对的弦相等“

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