小学奥数:“牛吃草”问题

【含义】

　　 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

 

例1　一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解：草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

　　因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量，同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量，由此可知：（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50，因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

　　原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5天内草总量

　　5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125

（4）求多少头牛5天吃完草

　　因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

　　因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）

　　答：需要5头牛5天可以把草吃完。

 

例2　一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解：这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

（1）求每小时进水量

　　因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量，10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量，所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14。因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

　　原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30

（3）求17人几小时淘完

　　17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是30÷（17－2）＝2（小时）。

　　答：17人2小时可以淘完水。

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