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英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目，这就是著名的牛吃草问题： 有一片牧场，已知饲牛 10 头，20 天把草吃完；若饲牛 15 头，则 10 天把草吃完； 饲牛 25 头，问几天把草吃完？ 解答此题的难点在于每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化，也就是 说这类问题的工作总量是不固定的，一直在匀速变化。 因此，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量。牧场上原有的草 总量是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为我们假设它是匀速生长，所以每 天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量， 问题就会迎刃而解。 一、基本知识点1、含义 牛吃草问题又称消长问题或牛顿牧场，就是牛在牧场上吃草而草又不断生长 的问题，它涉及到三种数量：原有的草、新长出的草、牛吃掉的草，人们把涉及 到这三种量的应用题，叫作牛吃草问题，也就牛顿问题。 2、特点 （1）随着时间的增长，每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化； （2）草的增长速度不变，即每天新长出的草量不变； （3）草场原有草的量不变 ； （4）每头牛每天的食草量不变。 3、口诀 每牛每天的吃草量假设是份数 1，A 头 B 天的吃草量是几，M 头 N 天的吃草 量又是几，大的减去小的，除以二者对应的天数差，结果就是每天长草量。 原有草量就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘每天长草量。 将未知吃草量的牛分为两个部分：部分牛先吃新草，个数就是草的比率；有 的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。 4、数量关系 （1）每天长草量=（对应牛的头数×吃得较多天数-对应牛的头数×吃得较 少天数）÷（吃得较多天数-吃得较少天数）； （2）原有草量=牛头数×吃的天数-每天长草量×吃的天数； （3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-每天长草量）； （4）牛头数=原有草量÷吃的天数+每天长草量 5、解题思路 （1）假设 1 头牛 1 天吃草量为"1"； （2）求出每天长草量； （3）求出牧场原有草量； （4） 求出每天实际消耗原有草量（牛吃的草量-每天长草量=消耗原有草量）； （5）求出可吃天数。 6、变式 （1）在漏水的船里舀水； （2）蜗牛在井里边爬边滑； （3）往漏水的水池里放水； （4）检票口检票； 二、一张思维导图归纳总结三、经典应用例 1 牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供 10 头牛吃 20 天， 可供 15 头牛 10 天，问可以供 25 头牛吃几天？ 【分析】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。这样可以求出 10 头牛 20 天一共吃掉的青草总量是 10×20=200（份）。在这 200 个单位中既包括了牧场 原有的青草量，也包括了在这 20 天中新生长出的青草量。同样地，我们也可以 求出 15 头牛 10 天吃掉的青草总量是 15×10=150（份）。在这 150 个单位的青草 中，既包括了牧场原有的青草量，也包括了在这 10 天中新生长出的青草量。因 为牧场上原有的青草是一定的，并且青草每天生长的速度相同。 第二步、求出每天长草量。我们根据上面求出的 20 天的青草总量和 10 天的 青草总量，就可以求出每天青草的生长量，即（200-150）÷（15-10）=5（份）。 第三步、求出牧场原有草量。知道了每天新生的青草量以后，就不难求出牧 场原有的青草量是 200-5×20=100（或 150-5×10=100）（份）。 第四步、求出每天实际消耗原有草量。25 头牛每天要吃掉 25 份的青草，由 于每天长出新草 5 份，所以实际每天原有的草量只减少了 25-5-20（份）。 第五步、求出可吃天数。我们只要算出原有的草量每天吃掉 20 份，几天可 以吃完，这就是 25 头牛吃完牧场全部青草所需要的时间 【解答】假设每头牛每天吃的青草量为 1 份， 每天长草量：（10×20-15×10）÷（20-10）=5（份） 原有草量： 10×20-5×20=100（份） 25 头牛每天吃掉原有青草的数量：25-5=20（份） 吃完全部青草所需的时间：100÷20=5（天） 答：可以供 25 头牛吃 5 天。 例 2 因天气渐冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少 已知牧场上的草供 33 头牛吃 5 天，或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧 场可供多少头牛吃 10 天？ 【分析】与例 1 不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在每天匀 速减少，但是，我们同样可用类似的方法求出每天减少的量和原来的草的总量。 【解答】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。 第二步、求出每天减草量。 每天减少的草量：（33×5-24×6）÷（6-5）=21（份） 第三步、求出牧场原有草量。 牧场上原有的草量：（33+21）×5=270（份） 或（24+21）×6=270（份） 第四步、求出牛 10 天吃草量。 10 天吃草量：270-21×10=60（份） 第五步、求出牛头数。 牛头数：60÷10=6（头） 答：这个牧场可供 6 头牛吃 10 天。 例 3 有一片青草，每天生长的速度相同已知这片青草可供 15 头牛吃 20 天， 或者供 76 只羊吃 12 天，如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草，那么 8 头牛 与 64 只羊一起吃，可以吃多少天？ 【分析】本题中既有牛又有羊，为了便于通过比较所吃的总草量来求出每天 生长的新草量和原有的总草量，我们可以先根据已知条件"一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量"，将已知条件"15 头牛吃 20 天"转化成"60 只羊吃 20 天"， 统一以羊的吃草量为标准，同时把条件"8 头牛与 64 只羊一起吃"相应地转换 成"96 只羊一起吃"，这样就可以按照例 1 的解题思路来解答。 我们也可以统一以牛的吃草量为标准，那么"76 只羊吃 12 天"就转换成 "19 头牛吃 12 天"，条件"8 头牛与 64 只羊一起吃"也相应地转换成"24 头 牛一起吃"然后再按照例 1 的解题思路来解答。 解法 1 第一步、假设每只羊每天的吃草量为 1 份。 第二步、求出每天长草量。 每天长草量：（15×4×20-76×12）÷（20-12） =（1200-912）÷8 =36（份） 第三步、求出牧场原有草量。 原有草量：76×12-36×12=480（份）或者 60×20-36×20=480（份） 第四步、求出每天实际消耗原有草量。 8 头牛（32 只羊）与 64 只羊每天吃掉原有青草的数量： （4×8+64）-36=60（份） 第五步、求出可吃天数。 8 头牛（32 只羊）与 64 只羊吃的天数：480÷60=8（天） 解法 2 第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。 第二步、求出每天长草量。 每天长草量：（15×20-76÷4×12）÷（20-12）=9（份） 第三步、求出牧场原有草量。 原有草量：15×20-9×20=120（份）或者 76÷4×12-9×12=120（份） 第四步、求出每天实际消耗原有草量。 8 头牛与 64 只羊（16 头牛）每天吃掉原有的青草数量： 8+64÷4-9=15（份） 第五步、求出可吃天数。 8 头牛与 64 只羊（16 头牛）吃的天数：120÷15=8（天） 答：8 头牛与 64 只羊一起吃，可以吃 8 天。 例 4 一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这个牧场可供 17 头牛吃 30 天， 可供 19 头牛吃 24 天，现在有若干头牛在吃草，6 天后，4 头牛死亡，余下的牛 吃了 2 天将草吃完，问原来有牛多少头？ 【分析】"牛吃草"问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加 解答时，要抓住这个关键问题、也就是要求出的要和每天增加的量各是多少。 【解答】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。 第二步、求出每天长草量。 每天新生的的草量：（17×30-19×24）÷（30-24）=9（份） 第三步、求出牧场原有草量。 原有的草量：17×30-9×30=240（份） 第四步、假设 4 头牛没有死亡总吃草量。 原有牛总吃草量：240+9×（6+2）+4×2=320（份） 第五步、求出牛头数。 原有牛头数：320÷（6+2）=40（头） 答：这群牛原有 40 头。 【反思】解决本题时，应用了"牛吃草"问题的基本解答方法。但在数量发 生变化时，可采用假设法使问题由难变易。 四、巩固练习1、有一牧场，已知养牛 54 头，6 天把草吃尽；养牛 46 头，9 天把草吃尽．如 果养牛 42 头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？ 2、有一块草地，草匀速生长，这块草地可供 16 头牛吃 20 天；或者可供 80 只羊吃 12 天；如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 20 只 羊一起可以吃多少天？ 3、一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。 问多少头牛 5 天可以把草吃完? |
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