孪生素数链与哥德巴赫猜想

      孪生素数链与哥德巴赫猜想

              文/施承忠

       素数链

我们把素数做成链.得到：

素数序号【素数】【素数派生的素数】【1+∑[1,k]pk】

0【1】【[2]】【1】

1【2】【[3][5]】【3】

2【3】【[7][11][13]】【6】

3【5】【[17][19][23][29][31]】【11】

4【7】【[37][41][43][47][53][59][61]】【18】

5【11】【[67][71][73][79][83][89][97][101][103][107][109]】【29】

6【13】【[113][127][131][137][139][149][151][157][163][167][173][179][181]】【42】

7【17】【[191][193][197][199][211][223][227][229][233][239][241][251][257][262][269][271][277]】【59】

8【19】【[281][283][293][307][311][313][317][331][337][347][349][353][359][367][373][379][383][389][397]】【78】

【】【】【】

我们把这个链可以做到无穷，这里只做到素数397，因为我们只是分析这个链与素数的重要关系，所以这样的数量是足够了.

对这个表我们先作一个说明：

左边第一列是素数序号，第二列是素数，第三列是素数派生的素数，第四列是把所有的素数加起来再加1.

为什么会有第三列素数派生的素数呢？我们有一句俗语：龙生龙凤生凤.接下来就是我的一句话：数字只能生数字.按照埃拉托斯特尼筛法，一个素数p不但能够生成无穷个合数,还能派生出p个素数，按照这个思路，才得到上面的素数链.

有了这个表格，我们就可以很容易地去研究素数问题了.因为我们知道在埃拉托斯特尼筛法中一个素数p可以筛出许多合数，这种合数是无穷的,但是它无法把所有的数都变成合数，所以就不可避免地产生了素数.那么在x中能产生多少素数呢？没有上面的这个表，我们就是一头雾水.有了上面的这个表，就非常容易了.

因为我们做筛法，就是利用p≤√x来完成的，根据筛法分析我们得到π(pk^2)≈1+∑[1,k]pk.因为pk的最后一个素数p1+∑[1,k]pk不一定小于x.比如2^2=4,而p3=7,比如

3^2=9,p6=13,是不是所有的素数p1+∑[1,k]pk都大于x呢！这倒不一定，比如11^2=121,而p29却是109，小于121.

那么我们如何来做到我们所选的素数一定保证不大于x呢！有了这张表我们有办法了.因为我们可以把k选得小一点，设它为t,但是我们胡乱猜是不行的，必须找到一个函数，利用这个函数来保证我们的要求.

因为我们根据筛法分析已经发现π(pk^2)≈1+∑[1,k]pk，那么一定存在π(pt^h)<1+∑[1,t]pt,t随h而定.

我们取h=3.

当2^3=8时，π(8)=4>1+∑[1,1]p1=3.

3^3=27,π(27)=8>1+∑[1,2]p2=6.

5^3=125,π(125)=30>1+∑[1,3]p3=11.

7^3=343，π(343)=68>1+∑[1,4]p4=18.

13^3=2197，π(2197)=327>1+∑[1,6]p6=42.

当x趋向无穷时，π(pt^3)与1+∑[1,t]pt比值会愈来愈大，这是为什么呢？因为pt是经过筛法处理的.

我们取h=2.5

2^2.5=5,π(5)=3=1+∑[1,1]p1=3.

3^2.5=15,π(15)=6=1+∑[1,2]p2=6.

5^2.5=55,π(55)=16>1+∑[1,3]p3=11.

7^2.5=129，π(129)=31>1+∑[1,4]p4=18.

13^2.5=609，π(609)=111>1+∑[1,6]p6=42.

与前面的结果相同.

取h=2.4

5^2.4=47,π(47)=15>1+∑[1,3]p3=11.

7^2.4=106，π(106)=27>1+∑[1,4]p4=18.

13^2.4=471，π(471)=91>1+∑[1,6]p6=42.

19^2.4=1172,π(1172)=193>1+∑[1,8]p8=78.

23^2.4=1854,π(1854)=283>1+∑[1,9]p9=101.

与前面的结果相同.

我们取h=2.3

5^2.3=40,π(40)=12>1+∑[1,3]p3=11.

7^2.3=87，π(87)=23>1+∑[1,4]p4=18.

13^2.3=364，π(364)=72>1+∑[1,6]p6=42.

19^2.3=873,π(873)=150>1+∑[1,8]p8=78.

23^2.3=1355,π(1355)=217>1+∑[1,9]p9=101.

与前面的结果相同.

我们取h=2.2

5^2.2=34,π(34)=11=1+∑[1,3]p3=11.

7^2.2=72，π(72)=20>1+∑[1,4]p4=18.

13^2.2=282，π(282)=60>1+∑[1,6]p6=42.

19^2.2=650,π(650)=118>1+∑[1,8]p8=78.

23^2.2=990,π(990)=166>1+∑[1,9]p9=101.

与前面的结果相同.

我们取h=2.1

7^2.1=59,π(59)=17<1+∑[1,4]p4=18

13^2.1=218，π(218)=47>1+∑[1,6]p6=42.

19^2.1=484,π(484)=92>1+∑[1,8]p8=78.

23^2.1=723,π(723)=128>1+∑[1,9]p9=101.

47^2.1=3246,π(3246)=457>1+∑[1,15]p15=329

我们一直做下去就会得到pt^2+0+=1+∑[1,t]pt,得到的结果与筛法分析的结果一样，pt^2≈1+∑[1,t]pt.

      孪生素数链

上面的方法我们同样可以用到孪生素数的数量估计中来.

我们做一个孪生素数链

孪生素数序号【孪生素数】【孪生素数派生的孪生素数】【∑[1,k]qk】

1【3】【[3][5][11]】【3】

2【5】【[17][29][41][59][71]】【8】

3【11】【[101][107][137][149][179][191][197][227][239][269][281]】【19】

4【17】【[311][347][419][431][461][521][569][599][617][641][659][809][821][827][857][881][1019]】【36】

【】【】【】

根据筛法分析孪生素数的对数T(2*qk^2)≈∑[1,k]qk.那么一定存在T(2*qt^h)<∑[1,t]qt.t随h而定.

我们取h=3

2*5^3=250,T(250)=17>∑[1,2]q2=8

2*11^3=2662,T(2662)=75>∑[1,3]q3=19

2*17^3=9826,T(9826)=203>∑[1,4]q4=36

2*29^3=48778,T(48778)=683>∑[1,5]q5=65

2*41^3=137842,T(137842)=1590>∑[1,6]q6=106

我们取h=2.5

2*5^2.5=111,T(111)=10>∑[1,2]q2=8

2*11^2.5=802,T(802)=30>∑[1,3]q3=19

2*17^2.5=2383,T(2383)=72>∑[1,4]q4=36

2*29^2.5=9057,T(9057)=192>∑[1,5]q5=65

2*41^2.5=21527,T(21527)=365>∑[1,6]q6=106

我们取h=2.4

2*5^2.4=95,T(95)=8=∑[1,2]q2=8

2*11^2.4=631,T(631)=28>∑[1,3]q3=19

2*17^2.4=1795,T(1795)=56>∑[1,4]q4=36

2*29^2.4=6468,T(6468)=150>∑[1,5]q5=65

2*41^2.4=14849,T(14849)=271>∑[1,6]q6=106

我们取h=2.3

2*11^2.3=496,T(496)=24>∑[1,3]q3=19

2*17^2.3=1352,T(1352)=46>∑[1,4]q4=36

2*29^2.3=4618,T(4618)=119>∑[1,5]q5=65

2*41^2.3=10243,T(10243)=210>∑[1,6]q6=106

2*59^2.3=23658,T(23658)=397>∑[1,7]q7=165

我们取h=2.2

2*11^2.2=390,T(390)=21>∑[1,3]q3=19

2*17^2.2=1018,T(1018)=35<∑[1,4]q4=36

2*29^2.2=3298,T(3298)=86>∑[1,5]q5=65

2*41^2.2=7065,T(7065)=162>∑[1,6]q6=106

2*59^2.2=15736,T(15736)=281>∑[1,7]q7=165

我们取h=2.1

2*11^2.1=307,T(307)=19=∑[1,3]q3=19

2*29^2.1=2355,T(2355)=71>∑[1,5]q5=65

2*41^2.1=4873,T(4873)=124>∑[1,6]q6=106

2*59^2.1=10466,T(10466)=215>∑[1,7]q7=165

2*71^2.1=15440,T(15440)=277>∑[1,8]q8=236

我们一直做下去就会得到2*pt^2+0+=∑[1,t]pt,得到的结果与筛法分析的结果一样，2*pt^2≈∑[1,t]pt.

     偶数定理

因为孪生素数的同余筛法是筛去x≡p-2   modp

而D(x)中筛去的是x≡p-2n   modp,n=1时，p-2n=p-2.x≡p-2n   modp与x≡p-2   modp之间虽然会有差距，但是这个差距不会太大，绝对不存在x≡p-2n   modp中存在其中一支的剩余数等于零.

所以我们把孪生素数作为样本不是没有道理的.你只要将孪生素数转换成D(x)中的素数就是了.比如：

D(26)=3

26=3+23

   7+19

   13+13

转换成

3→3,23→5

7→5,19→7

13→11,13→13

D(128)=3

128=19+109

    31+97

    61+67

转换成

19→3,109→5

31→5,97→7

61→11,67→13

其余类推

对于D(x)来说，每一个偶数都是独立的一种筛法，每一个偶数都是可以用同余筛法筛到无穷.比如偶数6是筛去x≡0   mod3，x≡1   mod5,x≡6   modp

按这种方法，我们可以筛去：

6=x≡0   mod3，x≡1   mod5，x≡6   modp

5-1=4

6=5

7-1=6

7-6=1

8=5,7

10=5,7

11-1=10

12=5,7

13-1=12

13-6=7

14=5,7,13

16=5,7,13

17-1=16

17-6=11

18=5,7,13,17

19-1=18

19-6=13

20=5,7,11,19

22=5,7,11,19

23-1=22

23-6=17

24=5,7,11,19,23

26=5,7,11,19,23

28=5,7,11,19,23

29-1=28

29-6=23

30=5,7,11,19，23,29

31-1=30

32=5,7,11,19,23,29

34=5,7,11,19,23,29

36=5,7,11,19,23,29

37-1=36

37-6=31

38=5,7,11,19,23,29,37

40=5,7,11,19,23,29,37

41-1=40

42=5,7,11,19,23,29,37

43-1=42

43-6=35

44=5,7,11,19,23,29,37

46=5,7,11,19,23,29,37

47-1=46

47-6=41

48=5,7,11,19,23,29,37

50=5,7,11,19,23,29,37

52=5,7,11,19,23,29,37

53-1=52

53-6=47

54=5,7,11,19,23,29,37,53

56=5,7,11,19,23,29,37,53

58=5,7,11,19,23,29,37,53

59-1=58

59-6=53

60=5,7,11,19,23,29,37,53,59

61-1=60

62=5,7,11,19,23,29,37,53,59

64=5,7,11,19,23,29,37,53,59

66=5,7,11,19,23,29,37,53,59

67-1=66

67-6=61

68=5,7,11,19,23,29,37,53,59，67

70=5,7,11,19,23,29,37,53,59，67

71-1=70

72=5,7,11,19,23,29,37,53,59，67

73-1=72

73-6=67

74=5,7,11,19,23,29,37,53,59，67,73

76=5,7,11,19,23,29,37,53,59，67,73

78=5,7,11,19,23,29,37,53,59，67,73

79-1=78

79-6=73

80=5,7,11,19,23,29,37,53,59，67,73,79

这样做下去就可以做到无穷.

在D(x)中，我们只做到不大于x的偶数.

我们做一个孪生素数链

孪生素数序号【孪生素数】【孪生素数派生的孪生素数】【∑[1,k]qk】

1【3】【[3][5][11]】【3】

2【5】【[17][29][41][59][71]】【8】

3【11】【[101][107][137][149][179][191][197][227][239][269][281]】【19】

4【17】【[311][347][419][431][461][521][569][599][617][641][659][809][821][827][857][881][1019]】【36】

【】【】【】

根据筛法分析D(4*qk^2)≈∑[1,k]qk.那么一定存在T(4*qt^h)<∑[1,t]qt.t随h而定.

我们取h=4

【4*qt^4】【D(4*qt^4)】【∑[1,t]qt】

【4*3^4=324】【D(324)=20】>【3】

【4*5^4=2500】【D(2500)=47】>【8】

【4*11^4=58564】【D(58564)=431】>【19】

【4*17^4=334084】【D(334084)=1726】>【36】

【4*29^4=2829124】【D(2829124)=10245】>【65】

【4*41^4=11303044】【D(11303044)=】>【106】

我们取h=3

【4*qt^3】【D(4*qt^3)】【∑[1,t]qt】

【4*5^3=500】【D(500)=13】>【8】

【4*11^3=5324】【D(5324)=69】>【19】

【4*17^3=19652】【D(19652)=177】>【36】

【4*29^3=97556】【D(97556)=612】>【65】

【4*41^3=275684】【D(275684)=1403】>【106】

我们取h=2.5

【4*5^2.5=223】【D(222)=11】>【8】

【4*11^2.5=1605】【D(1604)=23】>【19】

【4*17^2.5=4766】【D(4766)=54】>【36】

【4*29^2.5=18115】【D(18114)=324】>【65】

【4*41^2.5=43054】【D(43054)=362】>【106】

我们取h=2.4

【4*5^2.4=190】【D(190)=8】=【8】

【4*11^2.4=1262】【D(1262)=22】>【19】

【4*17^2.4=3590】【D(3590)=60】>【36】

【4*29^2.4=12936】【D(12936)=316】>【65】

【4*41^2.4=29698】【D(29698)=231】>【106】

我们取h=2.3

【4*11^2.3=993】【D(992)=13】<【19】

【4*17^2.3=2704】【D(2704)=43】>【36】

【4*29^2.3=9237】【D(9236)=89】>【65】

【4*41^2.3=20486】【D(20486)=176】>【106】

【4*59^2.3=47317】【D(47316)=669】>【165】

我们取h=2.2

【4*17^2.2=2037】【D(2036)=33】<【36】

【4*29^2.2=6596】【D(6596)=73】>【65】

【4*41^2.2=14131】【D(14130)=339】>【106】

【4*59^2.2=31472】【D(31472)=294】>【165】

【4*71^2.2=47296】【D(47296)=334】>【236】

我们取h=2.1

【4*29^2.1=4710】【D(4710)=148】>【65】

【4*41^2.1=9747】【D(9746)=113】>【106】

【4*59^2.1=20933】【D(20932)=182】>【165】

【4*71^2.1=30881】【D(30880)=312】>【236】

【4*101^2.1=64734】【D(64734)=835】>【337】

我们一直做下去就会得到4*pt^2+0+=∑[1,t]pt,得到的结果与筛法分析的结果一样，4*pt^2≈∑[1,t]pt.