每日一题[261] 画图也要有诀窍

已知函数 ，若存在实数 ，使得 ，求 的取值范围．

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正确答案是 ．

解    分离变量法

问题即

也即

接下来需要绘制 的草图．

注意到函数 的定义域为 ，且函数 的导函数为

于是函数在 ， 上单调递减，在 上单调递增．

于是绘制草图，如图．需要注意的是代表定义域的四个区间端点处的函数值的估计．五个要点任何一点没有注意到都容易引起错误．

进而不难得到 的取值范围是 ．

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半分离变量法

问题即

于是计算函数 过原点的切线，作图如下：

不难得到 的取值范围是 ．

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不分离变量法

函数 的导函数

于是需要按 进行讨论．

当 时， 单调递减．考虑到 时， ，而当 时， ．于是符合题意；

当 时， 单调递减．考虑到 时， ，而当 时， ．于是不符合题意；

当 时，函数 有极大值，同时也是最大值，为 ，根据题意，最大值不小于 ，于是可以解得 ．

综上， 的取值范围是 ．

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“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。如果您想表达自己独到的见解（或有意见及建议），请发送至[e-mail]。

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