2015-2016学年福建省八县(市)一中联考高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.
1.设集合A={x|2x≤4},集合B={x|y=lg(x﹣1)},则A∩B等于( )
A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2]
【考点】对数函数的定义域;交集及其运算.
【分析】解指数不等式求出集合A,求出对数函数的定义域即求出集合B,然后求解它们的交集.
【解答】解:A={x|2x≤4}={x|x≤2},
由x﹣1>0得x>1
∴B={x|y=lg(x﹣1)}={x|x>1}
∴A∩B={x|1<x≤2}
故选D.
2.已知和,若,则||=( )
A.5 B.8 C. D.64
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意可得x+2﹣2x=0,解方程可得x,即可求出||.
【解答】解:∵和,,
∴x+2﹣2x=0,
解得x=2,
∴||=|(5,0)|=5.
故选:A.
3.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…log3a10=(
)
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【考点】等比数列的性质;对数的运算性质.
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7,进而根据a5a6+a4a7=18,求得a5a6的值,最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5答案可得.
【解答】解:∵a5a6=a4a7,
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10
故选B
4.如图,已知ABCDEF是边长为1的正六边形,则的值为( )
A. B. C. D.
【考点】平面向量数量积的运算;向量加减法的应用.
【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质,可得, =∠ABF=30°,然后根据向量的数量积,即可得到答案
【解答】解:由正六边形的性质可得, =∠ABF=30°
∴==||·||cos30°==
故选C
5.将函数的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则θ的最小值是( )
A. B. C. D.
【考点】三角函数中的恒等变换应用;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】y=cosx+sinx=2cos(x﹣),故将函数平移后得到y=2cos(x﹣﹣θ),由于平移后的新函数是偶函数,得cos(﹣x﹣﹣θ)=cos(x﹣﹣θ),即cos(x++θ)=cos(x﹣﹣θ)恒成立,于是x++θ=x﹣﹣θ+2kπ,解出θ=kπ﹣.
【解答】解:∵y=cosx+sinx=2cos(x﹣),
∴将函数平移后得到的函数为y=2cos(x﹣﹣θ),
∵y=2cos(x﹣﹣θ)的图象关于y轴对称,
∴cos(﹣x﹣﹣θ)=cos(x﹣﹣θ),即cos(x++θ)=cos(x﹣﹣θ)恒成立.
∴x++θ=x﹣﹣θ+2kπ,解得θ=kπ﹣.
∵θ>0,
∴当k=1时,θ取最小值.
故选:D.
6.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )
A.?x∈R,f(﹣x)≠f(x) B.?x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x)
C.?x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0)
D.?x0∈R,f(﹣x0)≠﹣f(x0)
【考点】全称命题;特称命题.
【分析】根据定义域为R的函数f(x)不是偶函数,可得:?x∈R,f(﹣x)=f(x)为假命题;则其否定形式为真命题,可得答案.
【解答】解:∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,
∴?x∈R,f(﹣x)=f(x)为假命题;
∴?x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0)为真命题,
故选:C.
7.下列四个结论:①设为向量,若,则恒成立;
②命题“若x﹣sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x﹣sinx≠0”;
③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件;
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【考点】复合命题的真假.
【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确;由命题的逆否命题,先将条件、结论调换,再分别对它们否定,即可判断②;由命题p∨q为真,则p,q中至少有一个为真,不能推出p∧q为真,即可判断③.
【解答】解:对于①设为向量,若cos<,>,
从而cos<,>=1,即和的夹角是90°,则恒成立,则①对;
对于②,命题“若x﹣sinx=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x﹣sinx≠0”而不是逆命题,则②错;
对于③,命题p∨q为真,则p,q中至少有一个为真,不能推出p∧q为真,反之成立,
则应为必要不充分条件,则③错;
故选:A.
8.对于函数y=g(x),部分x与y的对应关系如下表:
x
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
y
|
2
|
4
|
7
|
5
|
1
|
8
|
数列{xn}满足:x1=2,且对于任意n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数y=g(x)的图象上,则x1+x2+…+x2015=(
)
A.4054 B.5046 C.5075 D.6047
【考点】函数的图象.
【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列,可得x1+x2+…+x2015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3,代值计算可得.
【解答】解:∵数列{x
n}满足x1=2,且对任意n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数y=g(x)的图象上,∴xn+1=g(xn),
∴由图表可得x1=2,x2=f(x1)=4,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=1,x5=f(x4)=2,
∴数列是周期为4的周期数列,故
x1+x2+…+x2015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3=503×(2+4+5+1)+2+4+5=6047,
故选:D.
9.设函数f(x)=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的部分图象为( )
A. B. C. D.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】先对函数f(x)进行求导运算,根据在点(t,f(t))处切线的斜率为在点(t,f(t))处的导数值,可得答案.
【解答】解:∵f(x)=xsinx+cosx
∴f'(x)=(xsinx)'+(cosx)'
=x(sinx)'+(x)'sinx+(cosx)'
=xcosx+sinx﹣sinx
=xcosx
∴k=g(t)=tcost
根据y=cosx的图象可知g(t)应该为奇函数,且当x>0时g(t)>0
故选B.
10.已知向量,满足,且关于x的函数在实数集R上单调递增,则向量,的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】求导数,利用函数f(x)=2x3+3|a|x2+6a·bx+7在实数集R上单调递增,可得判别式小于等于0在R上恒成立,再利用,利用向量的数量积,即可得到结论.
【解答】解:求导数可得f′(x)=6x2+6||x+6,则由函数f(x)=2x3+3|a|x2+6a·bx+7在实数集R上单调递增,
可得f′(x)=6x2+6||x+6≥0恒成立,即 x2+||x+≥0恒成立,
故判别式△=2﹣4≤0 恒成立,
再由,可得8||2≤8||2cos<,>,
∴cos<,>≥,
∴<,>∈[0,],
故选:C.
11.如图是函数图象的一部分,对不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有,则( )
A.f(x)在上是增函数 B.f(x)在上是减函数
C.f(x)在上是增函数 D.f(x)在上是减函数
【考点】正弦函数的图象.
【分析】利用图象得出对称轴为:x=
整体求解x1+x2=﹣?,,代入即可得出f(x)=2sin(2x)
根据正弦函数的单调性得出不等式+kπ≤x≤+kπ.k∈z.
即可判断答案.
【解答】解:根据函数图象得出;A=2,对称轴为:x=
2sin(x1+x2+?)=2,x1+x2+?=,x1+x2=﹣?,
∵,
∴2sin(2(﹣?)+?)=.
即sin(π﹣?)=,∵|?|,
∴
∴f(x)=2sin(2x)
∵+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈z,
∴+kπ≤x≤+kπ.k∈z.
故选:A
12.若关于x的不等式a≤﹣3x+4≤b的解集恰好是[a,b],则a+b的值为( )
A.5 B.4 C. D.
【考点】一元二次不等式的应用.
【分析】确定f(x)=﹣3x+4的对称轴,然后讨论对称轴是否在区间[a,b]内,分别求解即可.
【解答】解:令f(x)=﹣3x+4.对称轴为x=2,
若a≥2,则a,b是方程f(x)=x的两个实根,解得a=,b=4,矛盾,易错选D;
若b≤2,则f(a)=b,f(b)=a,相减得a+b=,代入可得a=b=,矛盾,易错选C;
若a<2<b,因为f(x)min=1,所以a=1,b=4.
因为x=0时与x=4时,函数值相同:4,所以a=0,
a+b=4,
故选:B.
二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.
13.若z=(sinθ﹣)+i(cosθ﹣)是纯虚数,则tanθ的值为 .
【考点】复数的基本概念.
【分析】根据复数是一个纯虚数,得到这个复数的实部为0,虚部不为0,解出关于θ的正弦的值和余弦不等于的值,从而得到这个角的余弦值,根据同角的三角函数关系,得到正切值.
【解答】解:∵是纯虚数,
∴sinθ﹣=0,
cosθ﹣≠0,
∴sin,cos,
∴cos,
∴tan,
故答案为:﹣
14.若幂函数f(x)过点(2,8),则满足不等式f(2﹣a)>f(1﹣a)的实数a的取值范围是
.
【考点】函数单调性的性质;幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】2α=8?α=3,则f(x)=x3.通过f(2﹣a)>f(a﹣1),利用函数f(x)的单调性可得a范围;
【解答】解:∵2α=8?α=3,则f(x)=x3,
由f(2﹣a)>f(a﹣1),?2﹣a>a﹣1?a<;
则满足不等式f(2﹣a)>f(1﹣a)的实数a的取值范围是.
故答案为:.
15.函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为 .
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】利用定积分表示封闭图形的面积,然后计算即可.
【解答】解:∵,
∴函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为+=+=.
故答案为:.
16.已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数x,y满足:f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x),,,考查下列结论:①f(1)=1;②f(x)为奇函数;③数列{an}为等差数列;④数列{bn}为等比数列.
以上命题正确的是 ②③④ .
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】利用抽象函数的关系和定义,利用赋值法分别进行判断即可.
【解答】解:(1)因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0,故①错误,
(2)令x=y=﹣1,得f(﹣1)=0;
令y=﹣1,有f(﹣x)=﹣f(x)+xf(﹣1),
代入f(﹣1)=0得f(﹣x)=﹣f(x),
故f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数.故②正确,
(3)若,
则an﹣an﹣1=﹣===为常数,
故数列{an}为等差数列,故③正确,
④∵f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x),
∴当x=y时,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x),
则f(22)=4f(2)=8=2×22,
f(23)=22f(2)+2f(22)=23+2×23═3×23,
…
则f(2n)=n×2n,
若,
则====2为常数,
则数列{bn}为等比数列,故④正确,
故答案为:②③④.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.设p:关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q:函数的定义域为R.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求实数a的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围;利用求出命题q为真时a的范围,由复合命题真值表知:若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则命题p、q一真一假,
分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围,再求并集.
【解答】解:∵关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0},∴0<a<1;
故命题p为真时,0<a<1;
∵函数的定义域为R,
∴?a≥,
由复合命题真值表知:若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则命题p、q一真一假,
当p真q假时,则?0<a<;
当q真p假时,则?a≥1,
综上实数a的取值范围是(0,)∪[1,+∞).
18.已知向量=(sinx,﹣1),向量=(cosx,﹣),函数f(x)=(+)·.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且f(A)恰是f(x)在[0,]上的最大值,求A和b.
【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.
【分析】(1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出f(x)解析式,利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出最小正周期;
(2)根据x的范围,求出这个角的范围,利用正弦函数的性质求出f(x)的最大值,以及此时x的值,由f(A)为最大值求出A的度数,利用余弦定理求出b的值即可.
【解答】解:(1)∵向量=(sinx,﹣1),向量=(cosx,﹣),
∴f(x)=(+)·=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin(2x﹣)+2,
∵ω=2,
∴函数f(x)的最小正周期T==π;
(2)由(1)知:f(x)=sin(2x﹣)+2,
∵x∈[0,],
∴﹣≤2x﹣≤,
∴当2x﹣=时,f(x)取得最大值3,此时x=,
∴由f(A)=3得:A=,
由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA,
∴12=b2+16﹣4b,即(b﹣2)2=0,
∴b=2.
19.已知数列{an}与{bn}满足:a1=1,bn=且anbn+1+an+1bn=1+(﹣2)n,
(1)求a2,a3的值:
(2)令ck=a2k+1﹣a2k﹣1,k∈N*,证明:{ck}是等比数列.
【考点】数列递推式;等比关系的确定.
【分析】(1)根据数列的递推关系即可求a2,a3的值:
(2)分别令n=2k,n=2k﹣1,化简条件,利用构造法先求出ck=a2k+1﹣a2k﹣1,k∈N*的通项公式,即可证明:{ck}是等比数列.
【解答】解:(1)∵a1=1,bn=,
∴b1==1,b2==2,b3=1,b4=2,
∵anbn+1+an+1bn=1+(﹣2)n,
∴当n=1时,a1b2+a2b1=1﹣2=﹣1,
即2+a2=﹣1,则a2=﹣3,
当n=2时,a2b3+a3b2=1+4=5,
即﹣3+2a3=5,则a3=4.
(2)由(1)知当n为奇数时,bn=1,
当n为偶数时,bn=2,
∵anbn+1+an+1bn=1+(﹣2)n,
∴令n=2k,则a2kb2k+1+a2k+1b2k=1+(﹣2)2k,
即a2k+2a2k+1=1+(﹣2)2k,①
令n=2k﹣1,则a2k﹣1b2k+a2kb2k﹣1=1+(﹣2)2k﹣1
即2a2k﹣1+a2k=1+(﹣2)2k﹣1,②
①一②得2a2k+1﹣2a2k﹣1=1+(﹣2)2k﹣1+(﹣2)2k﹣1=4k﹣·4k=·4k,
即a2k+1﹣a2k﹣1=·4k,
∵ck=a2k+1﹣a2k﹣1,k∈N*,
∴ck=·4k,k∈N*,
则当k≥2时, ==4为常数,
即{ck}是等比数列.
20.罗源滨海新城建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为32万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=96米时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小?
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】(1)根据题意设出桥墩和桥面工程量,然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系.
(2)当m=96米时,代入已知函数表达式,求出此时的函数表达式,并求导,根据导数与函数单调性的关系求出最值以及此时x的值.
【解答】解:(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=﹣1,…
所以y=f(x)=32n+(n+1)(2+)x=32(﹣1)+(2+)m
=m(+)+2m﹣32,( 0<x<m)…
(2)当m=96时,f(x)=96(+)+160
则f′(x)=.…
令f′(x)=0,得=64,所以x=16
当0<x<16时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,16)内为减函数;
当16<x<96,f′(x)>0,f(x)在区间(16,96)内为增函数.
所以f(x)在x=16处取得最小值.此时n=﹣1=5…
故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小.…
21.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且,
(Ⅰ)求△ABC的面积.
(Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比数列,求{}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理得,由此能求出△ABC的面积.
(Ⅱ)数列{an}的公差为d且d≠0,由a1cosA=1得a1=2,由a2,a4,a8成等比数列,得d=2,从而,由此利用裂项求和法能求出{}的前n项和Sn.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
,且,
∴由正弦定理得:,即:b2+c2﹣a2=bc,
∴由余弦定理得:,
又∵0<A<π,∴,…
∵且,即:5acosC=﹣5,即:,
与联立解得:c=12,…
∴△ABC的面积是:;…
(Ⅱ)数列{an}的公差为d且d≠0,由a1cosA=1,得a1=2,
又a2,a4,a8成等比数列,得,解得d=2…
∴an=2+(n﹣1)×2=2n,有an+2=2(n+2),
则…
∴
=.…
22.已知函数g(x)=(2﹣a)lnx,h(x)=lnx+ax2(a∈R),令f(x)=g(x)+h′(x),其中h′(x)是函数h(x)的导函数.
(Ⅰ)当a=0时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)当﹣8<a<﹣2时,若存在x1,x2∈[1,3],使得恒成立,求m的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
【分析】(Ⅰ)把a=0代入函数f(x)的解析式,求其导函数,由导函数的零点对定义域分段,得到函数在各区间段内的单调性,从而求得函数极值;
(Ⅱ)由函数的导函数可得函数的单调性,求得函数在[1,3]上的最值,再由恒成立,结合分离参数可得,构造函数,利用导数求其最值得m的范围.
【解答】解:(I)依题意h′(x)=,则,x∈(0,+∞),
当a=0时,,,
令f′(x)=0,解得.
当0<x<时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0.
∴f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
∴时,f(x)取得极小值,无极大值;
(II)=,x∈[1,3].
当﹣8<a<﹣2,即<<时,恒有f′(x)<0成立,
∴f(x)在[1,3]上是单调递减.
∴f(x)max=f(1)=1+2a,,
∴|f(x1)﹣f(x2)|max=f(1)﹣f(3)=,
∵x2∈[1,3],使得恒成立,
∴>,整理得,
又a<0,∴,
令t=﹣a,则t∈(2,8),构造函数,
∴,
当F′(t)=0时,t=e2,
当F′(t)>0时,2<t<e2,此时函数单调递增,
当F′(t)<0时,e2<t<8,此时函数单调递减.
∴,
∴m的取值范围为.
2016年10月21日
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