山西省重点中学协作体2017届高三（上）第一次适应性数学试卷（解析版）

2016-2017学年山西省重点中学协作体高三（上）第一次适应性数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，每小题0分，满分60）

1．设全集U=R，A={x|2^x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x≥1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤1}

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．

【分析】根据所给的文恩图，看出阴影部分所表达的是要求B集合的补集与A集合的交集，整理两个集合，求出B的补集，再求出交集

【解答】解：由文恩图知阴影部分表示的是A∩C_UB

∵A={x|2^x（x﹣2）＜1}={x|0＜x＜2}，

B={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，

∴阴影部分对应的集合是{x|1≤x＜2}

故选C．

2．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C坐标为（ ）

A．（4，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（2，4）

【考点】函数的图象．

【分析】先求出双曲线的函数解析式为y=，再联立方程组求出A点的坐标，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE﹣S_△AOE=6，列出方程即可解决．

【解答】D解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y=（k＞0）上，

∴k=﹣2×（﹣4）=8，

∴双曲线的函数解析式为y=，

联立方程组得，取x＞0，解得x=4，y=2．

∴A（4，2）．

过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，

∴OE=4，AE=2，

设点C的坐标为（a，），则OF=a，CF=，

则S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE﹣S_△AOE，

=×a×+（2+）（4﹣a）﹣×4×2

=，

∵△AOC的面积为6，

∴=6，

整理得a²+6a﹣16=0，

解得a=2或﹣8（舍弃），

∴点C的坐标为（2，4）．

故选：D．

3．若x³+x²+x=﹣1，则x^﹣28+x^﹣27+…+x^﹣2+x^﹣1+1+x¹+x²+…+x²⁷+x²⁸的值是（ ）

A．2 B．0 C．﹣1 D．1

【考点】有理数指数幂的化简求值．

【分析】由已知利用因式分解求得x=﹣1，则答案可求．

【解答】解：由x³+x²+x=﹣1，得x²（x+1）+x+1=0，即（x+1）（x²+1）=0，

解得x=﹣1．

∴x^﹣28+x^﹣27+…+x^﹣2+x^﹣1+1+x¹+x²+…+x²⁷+x²⁸=1．

故选：D．

4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．

【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．

【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；

对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；

对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；

对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；

故选D．

5．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log₂12）=（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【考点】函数的值．

【分析】先求f（﹣2）=1+log₂（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log₂12）=6，进而得到所求和．

【解答】解：函数f（x）=，

即有f（﹣2）=1+log₂（2+2）=1+2=3，

f（log₂12）==12×=6，

则有f（﹣2）+f（log₂12）=3+6=9．

故选C．

6．（文）二次函数y=x²+bx的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的二次方程x²+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

A．﹣1≤t＜3 B．t≥﹣1 C．3＜t＜8 D．﹣1≤t＜8

【考点】二次函数的性质．

【分析】据对求出的值从而到x=﹣1、4时的值，再根据二次方程x²+bx﹣t=0（t为实数）﹣1＜x＜的范围内有解当当于y=x²﹣2x直线y=t的交点的横坐标，即可求解．

【解答】解：对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2

∴二次函数解析式y=x²﹣2x，

∵x²+bx﹣t=0相当y=x²﹣2x直线y=t的交点的横坐标，

x=4时，y=16﹣8=8，x=﹣1时，y=3，

∴1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．

故选：D．

7．若函数f（x）=log₂（x+）﹣a在区间（，2）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】根据函数零点与对应方程根之间的关系，我们可将f（x）存在零点转化为方程log₂（x+）=a在内有交点，结合函数的单调性求出实数a的取值范围．

【解答】解：若f（x）存在零点，

则方程log₂（x+）=a在内有交点

令x+=t（x＜2）

则由函数令x+=t在（，1]上单调递减，在（1，2）上单调递增可知，

∴1

∴1≤a

故选B

8．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ）

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s²= [（x₁﹣）²+（x₂﹣）²+…+（x_n﹣）²]求解即可．

【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．

五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，

方差=×[（86﹣90）²+（94﹣90）²+（88﹣90）²+（92﹣90）²+（90﹣90）²]=8．

五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，

方差=×[（88﹣91）²+（93﹣91）²+（93﹣91）²+（88﹣91）²+（93﹣91）²]=6．

故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．

故选：C．

9．（理）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P₁；设P₁D的中点为D₁，第2次将纸片折叠，使点A与点D₁重合，折痕与AD交于点P₂；设P₂D₁的中点为D₂，第3次将纸片折叠，使点A与点D₂重合，折痕与AD交于点P₃；…；设P_n﹣1D_n﹣2的中点为D_n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D_n﹣1重合，折痕与AD交于点P_n（n＞2），则AP₆的长为（ ）

A． B． C． D．

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】先写出AD、AD₁、AD₂、AD₃的长度，然后可发现规律推出AD_n的表达式，继而根据AP_n=AD_n即可得出AP_n的表达式，也可得出AP₆的长

【解答】解：由题意得AD=BC=，AD₁=AD﹣DD₁=，

AD₂=，AD₃=，…，

AD_n=，

∴AP_n=AD_n=，

∴AP₆=，

故选：A．

10．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是（ ）

A．求输出a，b，c三数的最大数 B．求输出a，b，c三数的最小数

C．将a，b，c按从小到大排列 D．将a，b，c按从大到小排列

【考点】程序框图．

【分析】根据框图的流程判断，第一个环节的功能是输出的a是a，b之间的最大数，第二个环节功能是输出a，c之间的最大数，由此可得答案．

【解答】解：由程序框图知：第一个环节是比较a，b，输出的a是a，b之间的最大数；

第二个环节是比较a，c，输出的a是a，c之间的最大数．

∴算法的功能是输出a，b，c三数的最大数．

故选：A．

11．在锐角△ABC中，tanA=t+1，tanB=t﹣1，则实数t的取值范围是（ ）

A．（，+∞） B．（1，+∞） C．（1，） D．（﹣1，1）

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】由题意可得tanA=t+1＞0，tanB=t﹣1＞0，tan（A+B）==＜0，由此求得实数t的取值范围．

【解答】解：在锐角△ABC中，∵π＞A+B＞，∴tan（A+B）＜0．

再根据tanA=t+1＞0，tanB=t﹣1＞1，可得t＞1．

根据tan（A+B）==＜0，可得t＞，

故选：A．

12．如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数的单调性与导数的关系．

【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．

【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，

故选A．

13．椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₁﹣y₂|值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆周长求得内切圆半径，进而根据△ABF₂的面积=△AF₁F₂的面积+△BF₁F₂的面积求得△ABF₂的面积=3|y₂﹣y₁|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y₂﹣y₁|的值．

【解答】解：椭圆：，a=5，b=4，∴c=3，

左、右焦点F₁（﹣3，0）、F₂（ 3，0），

△ABF₂的内切圆周长为π，则内切圆的半径为r=，

而△ABF₂的面积=△AF₁F₂的面积+△BF₁F₂的面积=×|y₁|×|F1F₂|+×|y₂|×|F₁F₂|=×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂﹣y₁|（A、B在x轴的上下两侧）

又△ABF₂的面积=×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|）=×（2a+2a）=a=5．

所以 3|y₂﹣y₁|=5，

|y₂﹣y₁|=．

故选A．

14．设复数z满足iz=2﹣i，则z=（ ）

A．﹣1﹣2i B．1﹣2i C．1+2i D．﹣1+2i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．

【解答】解：∵复数z满足iz=2﹣i，则z===﹣1﹣2i，

故选A．

15．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）

A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t²+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，

由题意可得f′（x）≥0恒成立，

即为1﹣cos2x+acosx≥0，

即有﹣cos²x+acosx≥0，

设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t²+3at≥0，

当t=0时，不等式显然成立；

当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，

由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，

可得3a≥﹣1，即a≥﹣；

当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，

由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，

可得3a≤1，即a≤．

综上可得a的范围是[﹣，]．

故选：C．

二、填空题

16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．

【考点】简单线性规划的应用．

【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；

【解答】解：（1）甲、乙两种两种新型材料，设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．

由题意，得，z=2100x+900y．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），

目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．

故答案为：216000．

17．（理）现在有A、B、C、D 四人在晚上都要从桥的左边到右边．此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒．四人过桥最快所需时间如下为：A 2 分；B 3 分；C 8 分；D 10分．走的快的人要等走的慢的人，要求四人在21分钟内全部从左边走到桥的右边，那么你来安排一下如何过桥：先是A和B一起过桥，然后 独自返回．返回后将手电筒交给 和 ，让他们一起过桥，到达对岸后，将手电筒交给 ，让他将手电筒带回，最后A、B再次一起过桥．

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】根据时间关系分析即可得到答案．

【解答】解：先是A和B一起过桥，然后将B留在对岸，A独自返回，

A返回后将手电筒交给C和D，让C和D一起过桥，C和D到达对岸后，将手电筒交给B，让B将手电筒带回，最后A和B再次一起过桥．

则所需时间为：3+2+10+3+3=21分钟，

故答案为：A，C，D，B

18．具有方向的线段叫做有向线段（向量），以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+=，如图所示：如果=， =，则=+．若D为AB的中点， =，若BE为AC上的中线，则用，表示为 ．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】根据三角形加法法则， +=，代入即可求得=+．

【解答】解： +=，

∴+=+，

∴=+，

故答案为： +．

19．（文）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 ．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】平移个周期，即平移个单位，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得所得图象对应的函数的解析式．

【解答】解：由于函数y=2sin（2x+）的周期为=π，故个周期即，

故把函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期，即把函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，

所得图象对应的函数的解析式为y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣+）=2sin（2x﹣），

故答案为：．

20．若α∈则化简为 ．

【考点】二倍角的余弦．

【分析】由条件可得cosα＜0，利用二倍角公式化简要求的式子为|sin|，再由＜＜，可得 sin＞0，故|sin|=sin，从而得到答案．

【解答】解：若α∈，则cosα＜0，∴====|sin|．

再由＜＜，可得 sin＞0，故|sin|=sin，

故答案为 sin．

21．已知抛物线x²=2y，过点P（0，1）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，则y₁+y₂的最小值是 ．

【考点】直线与圆锥曲线的关系．

【分析】先根据点P设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂=2k，然后，求解得到y₁+y₂=2k²+2，

从而确定其最小值．

【解答】解：设过点P（0，1）的直线方程为：

y=kx+1，

联立方程组，

整理，得

x²﹣2kx﹣1=0，

∴△=4k²+4＞0，

∴x₁+x₂=2k，x₁·x₂=﹣1，

∵y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

=2k²+2，

∴当k=0时，y₁+y₂的最小值2．

故答案为：2．

22．已知函数f（x）=2^x，g（x）=x²+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x₁、x₂，设m=，n=．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x₁、x₂，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x₁、x₂，都有n＞0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=﹣n．

其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；

通过函数h（x）=x²+ax﹣2^x，求出导数判断单调性，即可判断③；

通过函数h（x）=x²+ax+2^x，求出导数判断单调性，即可判断④．

【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；

对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，

则②错误；

对于③，由m=n，可得f（x₁）﹣f（x₂）=g（x₁）﹣g（x₂），即为g（x₁）﹣f（x₁）=g（x₂）﹣f（x₂），

考查函数h（x）=x²+ax﹣2^x，h′（x）=2x+a﹣2^xln2，

当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；

对于④，由m=﹣n，可得f（x₁）﹣f（x₂）=﹣[g（x₁）﹣g（x₂）]，考查函数h（x）=x²+ax+2^x，

h′（x）=2x+a+2^xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．

故答案为：①④．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

23．设函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：

（1）集合M，N；

（2）集合M∩N，M∪N．

【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．

【分析】（1）对数的真数大于0求出集合M；开偶次方的被开方数非负且分母不等于0，求出集合N；

（2）直接利用集合的运算求出集合M∪N，M∩N即可．

【解答】解：（1）；

（2）由（1）可知M∩N={x|x≥3}，

M∪N={x|x＜1或x＞1.5}．

24．已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂·a₃=45，a₁+a₄=14．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设b_n=2ⁿa_n（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n；

（3）设F_n=（4n﹣5）·2ⁿ⁺¹，试比较F_n与T_n的大小．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（1）依题意可得到关于等差数列的首项与公差的方程组，解之即可；

（2）利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n；

（3）将F_n与T_n作差，根据结果对n分类讨论即可得到答案．

【解答】解：（1）由已知可得（d＞0）解得：．

∴a_n=1+4（n﹣1）=4n﹣3…

（2）∵b_n=2ⁿa_n=（4n﹣3）·2ⁿ，

∴T_n=1·2¹+5·2²+9·2³+…+（4n﹣7）·2^n﹣1+（4n﹣3）·2ⁿ，①

2T_n=1·2²+5·2³+…+（4n﹣11）·2^n﹣1+（4n﹣7）·2ⁿ+（4n﹣3）·2ⁿ⁺¹，②

①﹣②得：

﹣T_n=2+4（2²+2³+…+2ⁿ）﹣（4n﹣3）·2ⁿ⁺¹

=2+4·﹣（4n﹣3）·2ⁿ⁺¹

=2+4·2ⁿ⁺¹﹣16﹣（4n﹣3）·2ⁿ⁺¹

=﹣（4n﹣7）·2ⁿ⁺¹﹣14

∴T_n=（4n﹣7）·2ⁿ⁺¹+14…

（3）∵F_n﹣T_n=（4n﹣5）·2ⁿ⁺¹﹣（4n﹣7）·2ⁿ⁺¹﹣14=2ⁿ⁺²﹣14，

∴当n≥2时，2ⁿ⁺²≥2⁴=16＞14，即2ⁿ⁺¹﹣14＞0，故F_n＞T_n；

当n=1时，2ⁿ⁺²=2³=8＜14，即2ⁿ⁺¹﹣14＜0，故F_n＜T_n．

综上所述，当n=1时，F_n＜T_n；当n≥2时，F_n＞T_n…

25．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（Ⅰ）求f（x）的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（I）将建造成本和能源消耗总费用相加即可得出f（x）；

（II）利用导数判断f（x）的单调性，根据单调性求出f（x）的最小值．

【解答】解：（I）每年能源消耗费用为C（x）=，建造费用为6x，

∴f（x）=20C（x）+6x=．（1≤x≤10）．

（II）f′（x）=6﹣，令f′（x）=0得x=5或x=﹣（舍）．

∴当1≤x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x≤10时，f′（x）＞0．

∴f（x）在[1，5）上单调递减，在[5，10]上单调递增．

∴当x=5时，f（x）取得最小值f（5）=70．

∴当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．

26．如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于点D．

（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；

（Ⅱ）求二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质．

【分析】以A₁为原点，A₁B，A₁C，A₁A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量．

（I）要证明PB₁∥平面BDA₁，我们可以先求出直线PB₁的向量，及平面BDA₁的法向量，然后判断证明这两个向量互相垂直

（II）由图象可得二面角A﹣A₁D﹣B是一个锐二面角，我们求出平面AA₁D与平面A₁DB的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论．

【解答】解：以A₁为原点，A₁B，A₁C，A₁A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，

则A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）

（1）在△PAA₁中，C1D=AA1，则D（0，1，）

∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）

设平面BDA₁的一个法向量为=（a，b，c）

则

令c=﹣1，则=（1，，﹣1）

∵·=1×（﹣1）+×2+（﹣1）×0=0

∴PB₁∥平面BDA₁

（II）由（I）知平面BDA₁的一个法向量=（1，，﹣1）

又=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量

∴cos＜，＞===

故二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值为

27．设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．

（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；

（2）当0＜a＜时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；

（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；

（2）由a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出函数f（x）在区间[1，2]的最大值；

（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x²有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．

【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=． …

因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．

经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分） …

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．

令f′（x）=0得x=．

因为0＜a＜，1≤x≤2，∴0＜ax＜1，∴1﹣ax＞0，∴f′（x）＞0，

∴函数f（x）在[1，2]上是增函数，

∴当x=2时，f（x）_max=f（2）=ln2﹣2a．

（3）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，

所以x²﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，

设g（x）=x²﹣2mlnx﹣2mx，

则g′（x）=，令g′（x）=0，x²﹣mx﹣m=0．

因为m＞0，x＞0，所以x₁=＜0（舍去），x₂=，

当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，

当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增，

当x=x₂时，g（x）取最小值g（x₂）． …

则即

所以2mlnx₂+mx₂﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx₂+x₂﹣1=0（*），

设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．

因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即=1，

解得m=． …

选考题：请考生在29、30、31题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）

28．如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， OA为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

【考点】圆的切线的判定定理的证明．

【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．

（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．

【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，

∴直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．

∵OA=OB，TA=TB，

∴OT为AB的中垂线，

同理，OC=OD，TC=TD，

∴OT为CD的中垂线，

∴AB∥CD．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）

29．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．

（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|即可得出．

【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．

（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．

∴．（t₁t₂=4＞0）．

根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=．

[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）

30．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．

（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．

【考点】带绝对值的函数；函数图象的作法．

【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；

（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，

由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：

（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得

当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；

当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，

即有﹣1＜x＜或1＜x＜；

当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．

综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．

则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．

2016年10月12日