【全国百强校】四川省绵阳市东辰国际学校2017届高三上学期第二次月考数学（理）试题

绵阳东辰高三数学月考理科试题

满分：150分 时间：120分钟 命题：吴官伟 审题：邓波

第 I 卷（60分）

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

3．已知命题，命题，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.下列说法错误的是 （ ）

A．若，则 ；

B．若，，则“”为假命题.

C．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；

D．“”是“”的充分不必要条件；

5．已知函数若则实数的取值范围是（ ）

A． B ． C ． D ．

6．将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则

的一个可能取值为（ ）

A． B． C． D．

7．设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为（ ）

A．3 B．4 C．18 D．40

8． 《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为 （ ）

A．150 B．160 C．170 D．180

9．函数（其中）的图象不可能是

10．定义在上的函数的图像是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”，下列“关于函数”的结论正确的是（ ）

A．不是“关于函数” B．是一个 “关于函数”

C．“关于函数”至少有一个零点 D．不是一个“关于函数”

11．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

12．定义在上的函数满足：对恒成立，其中为的导函数，则（ ）

A． B． C． D．

第 II 卷（90分）

二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．化简求值：=________．

14．已知，，若，则________．

15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg/L与时间h间的关系为,如果在前5个小时消除了的污染物，为了消除的污染物，则需要 小时。

16．已知函数=的图象关于直线对称，则函数的值域为 ．

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）已知函数

（1）求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.

19．（本小题满分12分）设函数

（1）若函数是定义在R上的偶函数，求的值；

（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围。

20．（本小题满分12分）设函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果对于任意的，都有成立，试求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知函数（其中）.

（1）求在处的切线方程；

（2）若函数的两个零点为，证明：+.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．

（I）证明：；

（II）若，，求的直径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴

建立极坐标系，的极坐标方程为．

（I）写出的直角坐标方程；

（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的直角坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为．

（I）求实数，的值；

（II）求的最大值．

绵阳东辰2014级高三数学月考理科试题（参考答案）

一．选择题

1-5 ACBDC 6-10 BCCCC 11-12BＢ

二．填空题

13. ０ 14. 15. 15 16.

三解答题

17.【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其性质、裂项相消法求和等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和较高的计算能力.

【答案】（1），（2）

18.解：（Ⅰ）因为

所以函数的最小正周期为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，

当 时，

由正弦函数在上的图象知，

当，即时，取最大值；

当，即时，取最小值.

综上，在上的最大值为，最小值为.

19.

20.试题分析：（Ⅰ）第一步，在定义域内求函数的导数，通分化简，第二步，根据定义域，,参数分和两大类情况进行讨论，根据导数的正负，分析函数的单调性；（Ⅱ）根据已知条件的分析，若要不等式恒成立，只需满足，所以第一步，求函数在给定区间的最大值，利用导数；第二步，根据函数最大值是1，所以，然后反解，得到，第三步，利用导数求函数的最大值．此题考查了导数的综合应用，求单调区间，主要讨论参数的取值，恒成立，转化为最值问题．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，

当时，，函数在区间上单调递增；

当a>0时，若，则，函数单调递增；

若，则，函数单调递减；

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（Ⅱ），，

可见，当时，，在区间单调递增，

当时，，在区间单调递减

而，所以，在区间上的最大值是1，

依题意，只需当时，恒成立，

即恒成立，亦即；

令，

则，显然，

当时，，，，

即在区间上单调递增；

当时，，，，上单调递减；

所以，当x=1时，函数取得最大值，

故，即实数a的取值范围是

考点：1．导数的综合应用；2．单调区间的求法；3．很成立问题；4．利用导数求函数的最值．

21.【命题意图】本题主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、导数的综合应用，考查运算求解能力、转化与化归思想，是难题.

【解析】(Ⅰ)由题意得，，

∴在处的切线斜率为，

∴在处的切线方程为，即. ……………4分

(Ⅱ)由题意知函数，所以，

因为是函数的两个零点，所以，相减得

22.试题分析I）先证，再证，进而可证；（II）先由（I）知平分，进而可得的值，再利用切割线定理可得的值，进而可得的直径．

试题解析：（I）因为DE为圆O的直径，则，

又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.

又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.

（II）由（I）知BD平分CBA，则,又，从而，

所以，所以.

由切割线定理得，即=6，

故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.

考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.

23.试题分析：（I）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（II）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标．

试题解析：（I）由，

从而有.

(II)设,则，

故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.

考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.

24.试题分析：（I）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（II）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．

试题解析：（I）由，得

则解得,

（II）

当且仅当，即时等号成立，

故.

考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.