2011年高考数学真题附解析(安徽卷 理科)

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为

（A）2(B) 2 (C) (D)

（1）A【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题.

【解析】设，则，所以.故选A.

（2） 双曲线的实轴长是

（A）2 (B) (C) 4 (D) 4

（2）C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.

【解析】可变形为，则，，.故选C.

（3） 设是定义在上的奇函数，当时，，则

（A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）３

(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.

【解析】.故选A.

（４）设变量满足则的最大值和最小值分别为

（Ａ）１，－１　　　（Ｂ）２，－２ 　（Ｃ）１，－２　 （Ｄ）２，－１

（4）B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.

【解析】不等式对应的区域如图所示，

当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.

(5) 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为

（A）2(B) (C) （D)

(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.

【解析】极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.

(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为

第（8）题图

（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8(D) 80

(6)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.

(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是

（A）所有不能被2整除的数都是偶数

（B）所有能被2整除的数都不是偶数

（C）存在一个不能被2整除的数是偶数

（D）存在一个能被2整除的数不是偶数

（7）D【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题.

【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定.

（8）设集合则满足且的集合的个数为

（A）57 （B）56 （C）49 （D）8

（8）B【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组合知识.属中等难度题.

【解析】集合A的所有子集共有个，其中不含4,5,6,7的子集有个，所以集合共有56个.故选B.

（9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是

（A） （B）

（C） （D）

（9）C【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.

【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.

(10) 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是

（A） (B)

(C) (D)

(10)B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选B.

第II卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是__________.

(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.

【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.

（12）设，则__________.

（12)0【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

【解析】，，所以.

（13）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为__________.

(13)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.

【解析】，则，即，，所以，所以.

（14）已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________

（14)【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.

【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.

（15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点

③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点

④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

（15)①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.

【解析】令满足①，故①正确；若，过整点（－1,0），所以②错误；设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立，所以③正确；与都是有理数,直线不一定经过整点，④错误；直线恰过一个整点，⑤正确.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分12分)

设，其中为正实数

（Ⅰ）当时，求的极值点；

（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。

（17）（本小题满分12分）

如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线∥；

（2）求棱锥F—OBED的体积.

（18）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设求数列的前项和.

（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）设证明

，

（Ⅱ），证明

.

（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；

（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（21）（本小题满分13分）

设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。