河南省洛阳市第一高级中学2017届高三（上）第一次月考数学理试卷（解析版）

2016-2017学年河南省洛阳第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．（2016秋·洛阳校级月考）若复数Z 的共轭复数是，且满足=i（其中i为虚数单位），则z等于（ ）

A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．

【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【解答】解：由=i，得，

∴z=1﹣i．

故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

2．（2015秋·高安市校级期末）若（x+）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则（a₀+a₂+a₄）²﹣（a₁+a₃）²的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】二项式定理的应用．

【专题】转化思想；综合法；二项式定理．

【分析】在所给的等式中，分别令x=1，x=﹣1，可得两个式子，再把这两个式子相乘，即得所求．

【解答】解：在 中，

令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=，

再令x=﹣1，可得 a₀﹣a₁+a₂﹣a₃+a₄=，

两量式相乘可得则=·=1，

故选：A．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于基础题．

3．（2014·大庆二模）若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（ ）

A．＞ B．＞ C．＞ D．|a|＞﹣b

【考点】不等式的基本性质．

【专题】计算题．

【分析】选项A，利用作差法可证明真假，选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式不成立，故可判断真假；选项C，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，进行判断真假；选项D，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，从而|a|=﹣a＞﹣b，即可判断真假，从而选出正确选项．

【解答】解：选项A，﹣=＞0，故正确；

选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式＞不成立，故不正确；

选项C，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴＞，故正确；

选项D，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|=﹣a＞﹣b，故正确；

故选B．

【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，以及列举法的运用，同时考查了利用作差法比较大小，属于基础题．

4．（2014秋·北林区期中）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（ ）

A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆

【考点】轨迹方程．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】分别令f（x）=，g（x）=，他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等，利用抛物线的定义推断出答案．

【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，

令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，

依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．

故选B

【点评】本题主要考查了抛物线的定义，点的轨迹方程问题．关键是对方程的几何意义的灵活应用．

5．（2015·路南区校级二模）函数y=log_a（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（ ）

A．2 B．4 C． D．

【考点】对数函数的图象与性质．

【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】由题意可得点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；从而得=+=++2+；利用基本不等式求解．

【解答】解：由题意，点A（﹣2，﹣1）；

故﹣2m﹣n+2=0；

故2m+n=2；

=+

=++2+

≥4+=；

当且仅当m=n=时，等号成立；

故选D．

【点评】本题考查了函数的性质应用及基本不等式的应用，属于基础题．

6．（2013·新课标Ⅱ）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是C上的点PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，则C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】设|PF₂|=x，在直角三角形PF₁F₂中，依题意可求得|PF₁|与|F₁F₂|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．

【解答】解：|PF₂|=x，∵PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，

∴|PF₁|=2x，|F₁F₂|=x，

又|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c

∴2a=3x，2c=x，

∴C的离心率为：e==．

故选D．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF₁|与|PF₂|及|F₁F₂|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．

7．（2013·临洮县校级模拟）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】类比推理．

【专题】计算题．

【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．

【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．

设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，

所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，

则有r=，可求得r即OM=，

所以AO=AM﹣OM=，所以 =3

故答案为：3

【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．

8．（2012·阳谷县校级模拟）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x²于A、B两点，则△AOB（ ）

A．为直角三角形 B．为锐角三角形

C．为钝角三角形 D．前三种形状都有可能

【考点】三角形的形状判断．

【专题】计算题．

【分析】根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出·为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．

【解答】解：设A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），

将直线与抛物线方程联立得，

消去y得：x²﹣mx﹣1=0，

根据韦达定理得：x₁x₂=﹣1，

由=（x₁，x₁²），=（x₂，x₂²），

得到·=x₁x₂+（x₁x₂）²=﹣1+1=0，

则⊥，

∴△AOB为直角三角形．

故选A

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．

9．（2016秋·洛阳校级月考）已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值（ ）

A．2 B．1 C． D．

【考点】简单线性规划．

【专题】数形结合；转化思想；不等式．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．

【解答】解：由z=2x+y，得y=﹣2x+z

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图象可知当直线y=﹣2x+z过点A时，直线y=﹣2x+z的在y轴的截距最小，此时z最小，

由得，即A（1，﹣1），

此时z=2﹣1=1，

故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

10．（2014·鲤城区校级模拟）已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为n，则（x﹣）ⁿ的展开式中常数项为（ ）

A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160

【考点】二项式系数的性质．

【专题】综合题；二项式定理．

【分析】由于f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为6，故n=6，在二项式的展开式中令x的幂指数等于0，解得r的值，即可得到结论．

【解答】解：由于f（x）=|x+2|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到﹣2和4对应点的距离之和，其最小值为6，故n=6．

故二项式（x﹣）ⁿ展开式的通项公式为T_r+1=（x）^6﹣r=（﹣2）^rx^6﹣2r．

令6﹣2r=0，解得r=3，故（x﹣）ⁿ的展开式中常数项为（﹣2）³=﹣160．

故选：A．

【点评】本题主要考查绝对值的意义，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

11．（2016春·唐山校级期末）已知f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（ ）

A．e²⁰¹⁶f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）

B．e²⁰¹⁶f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）

C．e²⁰¹⁶f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）

D．e²⁰¹⁶f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）

【考点】导数的运算．

【专题】计算题；函数思想；转化法；导数的概念及应用．

【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论

【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，

因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，

所以g（﹣2016）＞g（0）＞g（2016）

即＞＞，

所以f（0）＜=e²⁰¹⁶f（﹣2016），e²⁰¹⁶f（0）＞f（2016），

故选：D．

【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．

12．（2015秋·汕头校级期末）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x²；2、f（x）=2^x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（ ）

A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4

【考点】等比数列的性质．

【专题】新定义；等差数列与等比数列．

【分析】根据新定义，结合等比数列性质a_na_n+2=a_n+1²，一一加以判断，即可得到结论．

【解答】解：由等比数列性质知a_na_n+2=a_n+1²，

①f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故正确；

②f（a_n）f（a_n+2）=2^an2^an+2=2^an+an+2≠2^2an+1=f²（a_n+1），故不正确；

③f（a_n）f（a_n+2）===f²（a_n+1），故正确；

④f（a_n）f（a_n+2）=ln|a_n|ln|a_n+2|≠ln|a_n+1|2=f²（a_n+1），故不正确；

故选B．

【点评】本题考查新定义，考查等比数列性质及函数计算，理解新定义是解题的关键．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．（2016·商丘二模）等差数列{a_n}的前n项和S_n，若a₁=2，S₃=12，则a₆= 12 ．

【考点】等差数列的前n项和．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．

【解答】解：∵S₃=12，

∴S₃=3a₁+d=3a₁+3d=12．

解得d=2，

则a₆=a₁+5d=2+2×5=12，

故答案为：12

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用，根据条件求出公差是解决本题的关键．

14．（2015春·潮州校级期中）计算定积分（+x）dx= ．

【考点】定积分．

【专题】导数的概念及应用．

【分析】将定积分分为两个积分的和，再分别求出定积分，即可得到结论．由定积分的几何意义知分dx表示原的面积的二分之一，问题得以解决．

【解答】解；由定积分的几何意义知分dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，

故dx=，

（+x）dx=（）dx+xdx=π+|=π+0=．

故答案为：

【点评】本题重点考查定积分的计算，考查定积分的性质，属于基础题

15．（2015·安徽模拟）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值 5﹣ ．

【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．

【专题】计算题．

【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值．

【解答】解：由曲线C的参数方程（α为参数），

化成普通方程为：（x﹣1）²+y²=2，

圆心为A（1，0），半径为r=，

由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．

故答案为：5﹣．

【点评】充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|﹣r是解题的关键．

16．（2015秋·高安市校级期末）设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的对称中心．有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：

设，则= 2015 ．

【考点】导数的运算；函数的值．

【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用．

【分析】求出g（x）的对称中心，根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出．

【解答】解：g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=0得x=，g（）=1．

∴g（x）的对称中心为（，1）．

∴g（）+g（）=g（）+g（）=g（）+g（）=…=g（）+g（）=2，

∴=1007×2+g（）=1007×2+g（）=2014+1=2015．

故答案为2015．

【点评】本题考查了导数的运算，函数求值，属于中档题．

三、解答题（共70分）

17．（10分）（2014·正定县校级三模）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的方程为（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为C₂：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C₁与C₂相交于A、B两点．

（1）求|AB|的值；

（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【专题】坐标系和参数方程．

【分析】（1）利用sin²θ+cos²θ=1即可得到曲线C₁的普通方程，把代入C₂：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C₂的普通方程，由于C₂的参数方程为为参数），代入C₁得，利用|AB|=|t₁﹣t₂|=即可得出．

（2）利用|MA||MB|=|t₁t₂|即可得出．

【解答】解：（1）利用sin²θ+cos²θ=1可得：曲线C₁的普通方程为，

由C₂：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C₂的普通方程为x+y﹣1=0，

则C₂的参数方程为为参数），

代入C₁得，

∴．

（2）．

【点评】本题考查了把参数方程、极坐标方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2013·黑龙江校级二模）选修4﹣5：不等式选讲

设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）

（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4，再由绝对值的意义求得不等式f（x）≤4的解集．

（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得 a≥2x﹣3，求得2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，可得a≥1，从而得到 1≤a≤2．

【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若a=2时，则不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4．

而由绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2和2对应点的距离之和，而﹣和应点到﹣2和2对应点的距离之和正好等于4，

故不等式f（x）≤4的解集为[﹣，]．

（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得 a≥2x﹣3．由于2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，∴a≥1，

故 1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．

【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．

19．（12分）（2015·上饶一模）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合计
男		5
女	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．

下面的临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．

【专题】概率与统计．

【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；

（2）利用公式求得K²，与临界值比较，即可得到结论．

（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．

【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得

列联表补充如下

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合计
男	20	5	25
女	10	15	25
合计	30	20	50

（2）因为 K²=，即K²==，

所以 K²≈8.333

又 P（k²≥7.879）=0.005=0.5%，

所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．

（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，

记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．

故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，

则ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P

则Eξ=1×+2×+3×=0.9，

Dξ=×（0﹣0.9）²+×（1﹣0.9）²+×（2﹣0.9）²+×（3﹣0.9）²=0.49

【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．（12分）（2015·上饶二模）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

【专题】空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．

因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

从而AC⊥平面BDE．…

（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，

所以．

由AD=3，可知DE=3，AF=．

则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），

所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则

，即．

令z=，则=（4，2，）．

因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，﹣3，0）．

所以cos．

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（12分）

【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

21．（12分）（2014·武侯区校级模拟）已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．

（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求的最小值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；

（Ⅱ）设l₁的方程：y=k（x﹣1），l₂的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求的最小值．

【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c，

则由题意得 c=，，

∴a=2，b²=a²﹣c²=1，

∴椭圆C的标准方程为． …（4分）

∴右顶点F的坐标为（1，0）．

设抛物线E的标准方程为y²=2px（p＞0），

∴，

∴抛物线E的标准方程为y²=4x． …（6分）

（Ⅱ）设l₁的方程：y=k（x﹣1），l₂的方程，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），

由消去y得：k²x²﹣（2k²+4）x+k²=0，

∴x₁+x₂=2+，x₁x₂=1．

由消去y得：x²﹣（4k²+2）x+1=0，

∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，…（9分）

∴

=

=||·||+||·||

=|x₁+1|·|x₂+1|+|x₃+1|·|x₄+1|

=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+（x₃x₄+x₃+x₄+1）

=8+≥8+=16．

当且仅当即k=±1时，有最小值16．…（13分）

【点评】本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

22．（12分）（2015春·包头校级期末）已知函数f（x）=ax²﹣（a+2）x+lnx

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；

（3）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范围．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．

【分析】（1）求出导数，求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；

（2）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，即可求a的取值范围；

（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²﹣ax+lnx，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增，由此可求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x²﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，

因为f'（1）=0，f（1）=﹣2，

所以切线方程为y=﹣2；

（2）函数f（x）=ax²﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），

当a＞0时，f′（x）=2ax﹣（a+2）+（x＞0），

令f'（x）=0，即f′（x）=，所以x=或x=．

当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，

所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；

当1＜＜e，即＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）=﹣2，不合题意；

当≥e，即0≤a≤时，f（x）在（1，e）上单调递减，

所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意．

综上可得 a≥1；

（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²﹣ax+lnx，

对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，

等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增．

而g′（x）=2ax﹣a+=，

当a=0时，g′（x）=，此时g（x）在（0，+∞）单调递增；

当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，

因为x∈（0，+∞），只要2ax²﹣ax+1≥0，则需要a≥0，

对于函数y=2ax²﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴x=，

只需△=a²﹣8a≤0，即0＜a≤8．

综上可得 0≤a≤8．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是关键．