勾股定理

一、       教材分析

本节课时苏科版教材八年级上第二章第一节课，勾股定理在初中数学中扮演着很重要的角色。在以后的学习中会经常用到有关勾股定理的知识，本节课我们主要来探究勾股定理的由来。

二、 教学目标

1．经历探究勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。

2．能说出勾股定理并能运用勾股定理解决简单的问题。

3．经历多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。

　  4. 掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。

三、教学重点难点

教学重点：勾股定理的推导的过程内容勾股定理的具体内容

教学难点：勾股定理的内容以及应用

四、教学方法

本节的教学分为五步：情境引入——定理探索——定理应用——巩固练习——课堂拓展的模式展开。教师引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题并与学生共同探索、讨论。让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解勾股定理的意义。

五、教具学具

   小黑板  正方形和直角三角形的模型若干

六、教学过程

（一）创设情境，设疑激思

如图，由4个边长为a,b,c的直角三角形拼成一个正方形，中间有一个正方形的开口（图中阴影部分），试用不同的方法计算这个阴影部分的面积，你发现了什么？

 

 

 

 

 

                                              

 

 

 

 

 

 

看到这个题目，学生感到十分的熟悉，这是七年级下册学习因式分解的时候见过的题目。学生们分组讨论，课堂气氛十分的活跃，不久得出了答案。

分析：因为整个图形是一个边长为c 的正方形

    所以  S_全＝c²

也可以分割求这个图形的面积

S_全＝4S_直角△+S_阴

    ＝4×ab+（a-b）²

   ＝2ab+a²-2ab+b²

     = a²+b²

于是有a²+b²＝c²

得到了以上一个结论，此时不急于总结结论从而引出勾股定理，因为仅仅一个题目不足以说明问题。

于是提出“类似于上面的拼图问题，你们还记得多少。同学们于是分组讨论，另一个类似的拼图问题。

 

如图，游4个边长分别a,b,c的直角三角形拼成一个正方形用不同的方法，计算这个正方形的面积，你发现了什么？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分析：因为S_全＝（a+b）²＝a²+2ab+b²

         S_全＝4×ab+ c²＝2ab+ c²

         所以a²+2ab+b²＝2ab+ c²

         所以a²+b²＝c²

 

【设计意图】本段采用小组合作学习方式进行，学生按教师事先分好的小组以小组为单位进行合作学习，每个小组选择一种证法进行研究。每个小组有4名成员，位置相邻，便于所有的人都能参与到明确的集体任务中。小组成员之间相互依赖、相互沟通、相互合作，共同负责，从而达到共同的目标。在集体学习的基础上，每组推选一位同学代表本组进行学习交流，主要时将本组证法的思路讲清，同时同组同学可以补充或纠错。其他小组此时则通过聆听对他组的证法进行学习。

（二）自己总结，得出结论

引导学生思考问题：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？

 

于是我们得到结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如图：我们有 a²+b²＝c²

 

 

 

教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。

【设计意图】八年级学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中逐渐完善自己的观点。故本段设计遵循“构建主义”的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。教师只是给学生提供一定的学习“情景”，在此“情景”中，学生通过“协作”、“会话”和“意义建构”进行有效学习。

 

(三)勾股定理简单的应用

1、例题精讲

如图Rt△ABC  ∠ACB＝90^。以三角形三边向外作三个正方形。面积分别为S₁,S₂,S₃,试探索S₁,S₂,S₃  三者之间的关系

分析：因为Rt△ABC中，∠ACB=90⁰

所以a²+b²=c² (勾股定理)

因为S₁=b²,S₂=a²,S₃=c²

所以S₁＋S₂＝S₃

 

 

2、巩固练习

（1）求下列直角三角形中未知边的长

 

 

 

 

 

 

（2）求下列图中未知数x,y,z的值

 

 

 

 

 

 

 

 

3、拓展与延伸

（1）一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则另一条边是       

（2）一个直角三角形的两条边分别为3和4，则另一条边是       

（3）一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？

（4）将梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，梯子的长为5.41米。求梯子上端A到墙的底端B的距离.（精确到0.01米）

 

 

 

 

【设计意图】课堂从广义上讲是开放的，教师在授课时，不仅要传授学生必要的知识，更要打开学生的思路，给学生提供更为广阔的空间，引领学生课后去探索，从而让学生真正成为学习的主人。在当今的网络社会，学生尤其要善于在网上“淘金”，满足自己学习的需要。网上学习必将成为未来的最为重要的学习方式。

七、课堂小结

这节课你有哪些收获？你能谈谈你对这节课的感受吗？

【设计意图】一个好的小结，不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想、方法的总结，学生通过自己的总结，不仅促进了对知识的理解，培养了数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思，能有效地把握知识的脉搏，找到知识之间的内在联系，这对于学生主动构建良好的认知结构大有裨益，也让学生从中学会感悟数学。

八、课堂作业

  书上第47页习题2.1   1，2，3

【设计意图】巩固勾股定理，进一步体会定理与实际生活的联系。促进学生学知识，用知识的意识。新课程标准提倡课题学习（研究性学习），通过课题学习与研究更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识。

九、教学反思

1、教的转变

            本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，在引导学生探索、发现结论后，利用习题加以巩固，激发学生自觉探究数学问题，体验发现的乐趣。

2、学的转变

学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是停留在学会课本知识层

面，而是站在研究者的角度深入其境。

3、课堂氛围的转变

整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征，教师对学生的

思维减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。整节课学生与学生，

学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，以互助合作为手段，以解

决问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，

判断发现的价值。