数学模型X1 X2 ... Xn=M的简单应用

我们先看这样一个问题：

1【问题的提出】

例1.某中学把12名三好学生的名额分配到高一（1）、（2）、（3）的三个班中，要求每个班的名额不小于班的序号数（例如，2班不少于2人，3班不少于3人），则一共有多少种不同的分配方法？

同学们好好思考一下：这个问题如何解决呢？

2【问题的探究】

【思考1】我们把12个名额看成12个完全相同的小球，为了满足题意，我们先给（1）班0个球，（2）班1个球，（3）班2个球，则还剩下9个小球，9个相同的小球全部分给3个班，每个班至少一个小球，是不是满足题意了？

上述问题抽象成数学模型后，变成了“方程x+y+z=9有多少组正整数解?”的问题了！

现在，我们把9个相同的小球排成一列，用两块隔板分成三个部分，每个部分至少一个小球，于是问题的解题如图所示：

【思考2】我们把12个名额看成12个完全相同的小球，如果我们先满足题意：给（1）班1个球，（2）班2个球，（3）班3个球，则还剩下6个小球，6个相同的小球全部分给3个班，这时有可能有些班不再分得小球。

此问题抽象成数学模型后，变成了“方程x+y+z=9有多少组非负整数解?”的问题了！

现在，我们把6个相同的小球排成一列，用2块隔板分成三个部分（隔板可以相邻，也可以不相邻），2块隔板和6个小球共占了8个位置，于是问题的解题如图所示：
3【数学模型的形成】

把上述问题抽象概括一下，我们得到一个非常有用的数学模型：
(注：上面的正整数n和M有取值范围的限制。你懂的！)

4【数学模型的简单应用】

为了让同学们能切实掌握这个“数学模型方法”，下面我们再多举几个例子说明此模型的应用。

例2.将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由上面的方程模型知方法共有
解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由上面的方程模型知方法共有

2014年天津市公务员考试中有下面的这样一个题目：

例3.一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?

     A.4     B.6     C.8        D.10

【解答】由上面的方程模型知方法共有