数海拾贝

光子问答精选[11]复合函数的零点问题

2016年09月24日 燕子 数海拾贝

函数的零点问题在高中函数知识模块中占有极其重要的地位，它把函数与方程紧密地联系在一起，而复合函数的零点问题是函数零点问题中典型的一类，也是高考和模考中的热点问题．复合函数涉及内层函数与外层函数，其零点问题往往需要结合内层函数与外层函数的图象，利用数形结合的思想来解决．本文针对处理复合函数零点问题的解题思路进行举例分析．

例　若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根个数是（）
A．3
B．4
C．5
D．6
——薄冰　2016-08-30　16:16

分析　观察条件发现：所求方程左边的表达式和函数f(x)的导函数的形式是一样的，而导函数的零点恰好为原函数的极值点x1,x2，所以题目可以转化成求关于x的方程f(x)=x1和f(x)=x2的实根个数之和．

解　（耿耿）对原函数进行求导，得f′(x)=3x2+2ax+b.根据题意知，方程3x2+2ax+b=0有两个不等实数根x1,x2．

当x1x2时，令t=f(x)，故所求方程化为3t2+2at+b=0,而g(t)=3t2+2at+b的图象如图所示：
则t1=x1,t2=x2，故题目转化为求方程t=f(x)的实根个数．

函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示：由图可知f(x)=t1=x1有两个不同实根，f(x)=t2=x2有一个实根，故原方程共有3个不同实根．

当x1>x2时，其思考过程与x1x2的情况类似，感兴趣的读者可独立思考．

总结　我们常常利用换元法将复合函数的内层函数与外层函数分开，再结合内层函数与外层函数图象解决复合函数的零点问题．

由此解决复合函数y=f(g(x))的零点个数问题的一般步骤可归结为：

(1)利用换元法，将复合函数的零点个数问题转化为关于x的方程组{f(t)=0,t=g(x)的解的个数问题；

(2)先结合外层函数图象求解f(t)=0，得其根t1,t2的分布情况或具体值；

(3)然后在内层函数y=g(x)的图象上画出对应直线y=t1,y=t2，得出交点个数，也就是零点个数．

---

练习
1．设函数f(x)={2x,x?,若关于x的方程[f(x)]^2-af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是\underline{\qquad}．
——duang　2016-09-14　10:00

2．设定义域为\cal R的函数f(x)=\begin{cases}|\lg x|(x>0)\\-x^2-2x(x\leqslant 0)\end{cases}，则关于x的函数y=2[f(x)]^2-3f(x)+1的零点的个数为\underline{\qquad}．
——燕子　2016-09-08　15:24

3．已知函数f(x)=3\sin^2 x-\sin x+a在x\in [0,2\pi]有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
——燕子　2016-09-08　14:24

答案
1．(0,1]；
2．7；
3．(-4,-2)\cup \left\{\dfrac {1}{12}\right\}．

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