2016年高考山东卷数学文理压轴题详解试卷点评 今年的山东卷比去年简单了不少．从选择题最后一题中“象形”的T性质，到填空最后一题中给出无需讨论对称轴的二次函数的限制函数甚至给出m>0来避免讨论，这些都充分释放出了出题人的善意．导数大题中利用我们熟知的对lnx的放缩可以极大地简化问题，而解析几何大题中利用椭圆的“垂径定理”也可以大大减少计算量，这些都是在高考中常用的“套路”，相信难不倒认真准备的学生们．文科的解析几何压轴大题反倒比理科的要难一些，但计算量比前两年要小一些．总的来说，山东卷在全面考查数学知识和能力的同时表现出了难得的温柔善良，很适合训练有素的同学发挥． 理科第10题（选择压轴题）： 若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
解 根据题意，函数y=f(x)(导函数为连续函数)具有T性质，那么必然出现以下两种情形之一： (1) 函数f′(x)的值域包含一个形如[m,n]的区间，其中m0n且mn??1； (2) 导函数的值域包含0且函数存在垂直于x轴的切线． 对于选项A，导函数为y′=cosx，其值域为[?1,1]，具有T性质，因此选项A正确； 对于选项B，导函数为y′=1x，其值域为(0,+∞)，不具有T性质； 对于选项C，导函数为y′=ex，其值域为(0,+∞)，不具有T性质； 对于选项D，导函数为y′=3x2，其值域为[0,+∞)，但不存在垂直于x轴的切线，不具有T性质． 第15题（填空压轴题）： 已知函数f(x)={|x|,x?m,x2?2mx+4m,x>m,其中m>0，存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______． 解 注意到函数y=x2?2mx+4m(x>m)是在(m,+∞)上的单调递增函数，因此若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，那么必然有(|x|)|x=m>(x2?2mx+4m)|x=m,解得m>3，因此m的取值范围是(3,+∞)． 第20题（导数）： 已知f(x)=a(x?lnx)+2x?1x2，a∈R． (1) 讨论f(x)的单调性； (2) 当a=1时，证明：f(x)>f′(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立． 解 (1) 根据题意，f(x)的导函数f′(x)=(ax2?2)(x?1)x3,易得讨论的分界点为0,2． 情形一 a?0． 此时函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减． 情形二 0a2． 此时函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,√2a)上单调递减，在(√2a,+∞)上单调递增． 情形三 a=2． 此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增． 情形四 a>2． 此时函数f(x)在(0,√2a)上单调递增，在(√2a,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增． (2) 题中不等式即x?lnx+2x?1x2?(x2?2)(x?1)x3?32>0,我们熟知在区间[1,2]上有lnx?x?1,于是x?lnx+2x?1x2?(x2?2)(x?1)x3?32?2x?1x2?(x2?2)(x?1)x3?12=(3x2?2)(2?x)2x3,等号当且仅当x=1时取得．而在区间[1,2]上，显然有(3x2?2)(2?x)2x3?0,等号当且仅当x=2时取得．因此等号无法同时取得，题中不等式得证． 第21题（解析几何）： 平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√32，抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点． (1) 求椭圆C的方程； (2) 设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． (i) 求证：点M在定直线上； (ii) 直线l与y轴交于点G，记\triangle PFG的面积为S_1，\triangle PDM的面积为S_1，求\dfrac{S_1}{S_2}的最大值及取得最大值时点P的坐标． 解 (1) 根据题意，有F点的坐标为\left(0,\dfrac 12\right)，于是b=\dfrac 12．又根据离心率为\dfrac{\sqrt 3}2可得a^2=4b^2=1,于是椭圆C的方程为x^2+4y^2=1． (2) 画出示意图如下．
(i) 设P(2t,2t^2)，则切线l的方程为y=2tx-2t^2．设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)，将两点满足的椭圆方程相减整理得（即椭圆的“垂径定理”）直线OM的斜率与直线AB的斜率满足k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2},从而可得k_{OM}=-\dfrac{1}{8t}，于是不难计算得M的坐标为\left(2t,-\dfrac 14\right)，因此点M在定直线y=-\dfrac 14上． (ii) 由\triangle DPM与\triangle DGO相似可得S_2=\dfrac{|PM|}{|PM|+|OG|}\cdot \dfrac 12\cdot |PM|\cdot d(O,PM),因此\begin{split} \dfrac{S_1}{S_2}=&\dfrac{ \left(2t^2+\dfrac 12\right)\cdot 2t}{2t\cdot\left(2t^2+\dfrac 14\right)\cdot\dfrac{2t^2+\dfrac 14}{4t^2+\dfrac 14}}\\=&\dfrac{(8t^2+2)(16t^2+1)}{(8t^2+1)^2} \\\leqslant &\left[\dfrac{(8t^2+2)+(16t^2+1)}2\right]^2\cdot \dfrac{1}{(8t^2+1)^2} \\=&\dfrac 94,\end{split} 等号当8t^2+2=16t^2+1，即t=\dfrac{1}{2\sqrt 2}时取得．因此所求的最大值为\dfrac 94，此时点P的坐标为\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac 14\right)． 文科第10题、第15题同理科第10题、第15题． 文科第20题（导数）： 设f(x)=x\ln x-ax^2+(2a-1)x，a\in\mathcal R． (1) 令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间； (2) 已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围． 解 (1) 根据题意，函数f(x)的导函数g(x)=f'(x)=\ln x-2a(x-1),x>0,而函数g(x)的导函数g'(x)=\dfrac{1-2ax}x,x>0. 此时在(0,+\infty)上，g'(x)>0，于是g(x)的单调递增区间是(0,+\infty)． 情形二 a>0． 此时函数g(x)的单调递增区间是\left(0,\dfrac 1{2a}\right)，单调递减区间是\left(\dfrac{1}{2a},+\infty\right)． (2) 考虑到f'(1)=0，于是当f(x)在x=1处取得极大值时，必然在x=1的左邻域内单调递增，在x=1的右邻域内单调递减．注意到f’^\prime(1)=g'(1)=1-2a,因此得到分界点\dfrac 12． 情形一 a>\dfrac 12． 此时函数f'(x)在\left(\dfrac{1}{2a},+\infty\right)上单调递减，而f'(1)=0，于是在区间\left(\dfrac{1}{2a},1\right)上有f'(x)>0，在区间(1,+\infty)上有f'(x)<>，因此函数f(x)在x=1处取得极大值，符合题意． 情形二 a\leqslant \dfrac 12． (i) 若a\leqslant 0，则函数f'(x)在(0,+\infty)上单调递增，而f'(1)=0，此时在区间(0,1)上有f'(x)<>，因此函数f(x)在x=1处不能取得极大值，不符合题意． (ii) 若0 综上所述，a的取值范围为\left(\dfrac 12,+\infty\right)． 文科第21题（解析几何）： 已知椭圆C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2\sqrt 2． (1) 求椭圆C的方程； (2) 过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A,P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． (i) 设直线PM,QM的斜率分别为k,k’，证明：\dfrac{k’}k为定值； (ii) 求直线AB的斜率的最小值． 解 (1) 根据题意，有a^2=4，c^2=2，因此b^2=2，于是椭圆C的方程为\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1. (2) 如图． (ii) 由于直线PA的斜率k=\dfrac{m}{p}=\dfrac{m}{\sqrt{4-8m^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{4}{m^2}-8}},其中0<><\dfrac>．因此k的取值范围是(0,+\infty)． 将直线y=Kx+m与椭圆的方程联立，整理得(2K^2+1)x^2+4Kmx+2m^2-4=0,设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，直线PA:y=kx+m，直线QB:y=-3kx+m，分别令K=k和K=-3k即可得x_1p=\dfrac{2m^2-4}{2k^2+1},x_2p=\dfrac{2m^2-4}{18k^2+1},进而直线AB的斜率\begin{split} k_{AB}=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\=&\dfrac{(kx_1+m)-(-3kx_2+m)}{x_1-x_2}\\=&\dfrac{k\cdot x_1p+3k\cdot x_2p}{x_1p-x_2p}\\=&\dfrac{k\cdot\dfrac{2m^2-4}{2k^2+1}+3k\cdot \dfrac{2m^2-4}{18k^2+1}}{\dfrac{2m^2-4}{2k^2+1}-\dfrac{2m^2-4}{18k^2+1}}\\=&\dfrac 14\left(6k+\dfrac 1k\right)\geqslant \dfrac{\sqrt 6}2,\end{split} 等号当且仅当k=\dfrac{\sqrt 6}6时取得．因此直线AB的斜率的最小值为\dfrac{\sqrt 6}2． 相关文章关于数海拾贝“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。 觉得有意思？微信扫描二维码，关注我们吧！ |
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