教材解读 | 映射与函数

集合预备知识

1.  且

2.  集合的运算：并、交、差、补、直积.

差：

补：，其中为全集.

直积：

3.  区间

闭区间：

开区间：

左闭右开区间：

左开右闭区间：

以上都是有限区间，下面是无限区间.

4.  邻域

设为任意实数，是一个非常小的正实数.

点的邻域为:

点的去心邻域为:

---

重要知识点

一、函数基础概念

1. 函数概念有两个基本要素：定义域、对应法则(或称依赖关系).

   只有当两个函数的定义域与对应法则完全相同时，才能说它们是同一个函数.
   

2. 根据自变量的个数，可将函数分为：一元函数、多元函数等.

   高数上册只讨论一元函数，下册则主要研究多元函数.
   

3. 根据因变量取值个数，可将函数分为：单值函数、多值函数.

   在高数中，如没有特别说明，处理的都是单值函数.
   

4. 函数的表示法：公式法(显式、隐式、参数式)，列表法，图像法等.
   

5. 显函数：

   隐函数：

   例如， 就是一个隐函数.
   

6. 反函数：设为单射，则可定义反函数.

   函数与其反函数图像关于 y=x 对称.
   

7. 复合函数：.

二、函数家族中的重要成员

1. 绝对值函数：

   以下是和绝对值有关的函数：

   设

    

   则有

   

   

   

   
   

   
   

2. 符号函数

   

   
   

3. 取整函数

     [x] 表示不超过 x 的最大整数.

   重要性质：设 n 为正整数，则

    

   
   

4. 分段函数

   分段函数形式的复杂性带来命题的丰富性. 可以说，在高等数学中，分段函数是最重要的一种函数.

   分段函数常见形式：

   
   

   一般地，分段函数不是初等函数. 但前面提到的绝对值函数是分段函数，它却是初等函数.
   

5. 幂指函数

   
   

6. 狄利克雷函数

   

   这是一个抽象的连图像都无法画出来bug一样存在的函数，经常在否定一个结论时，有着神奇的构造作用.

   狄利克雷函数是以任何正有理数为周期的周期函数，因此它没有最小正周期，该函数处处无极限、处处不连续、处处不可导、在任何区间上都不可积.

三、函数的几种特性

1. 有界性

   设，若

    

   有，

   则称 f(x) 在 D 上有界.

   有上(下)界，你能自己给出定义吗？

   判断函数有界性通常采用以下方法：

   (1)  闭区间上的连续函数必定是有界函数.

   (2)  适当放大或缩小有关表达式导出其界.

   (3)  利用基本初等函数的图像判断.
   

   常见的有界函数：

   

   

   
   

2. 单调性

   单调增加

   单调减少

   判断函数单调性的常用方法：

   (1)  依定义判断

   (2)  依导数符号判定
   

3. 奇偶性

   奇偶性的前提是：定义域关于原点对称.

   奇函数图像关于原点对称，而偶函数关于y轴对称.

   判断一个函数为奇函数的重要方法：

   任何一个函数可以表示为奇函数和偶函数之和.
   

   常见的偶函数：

   

   常见的奇函数：

   

   对于复合函数，若

   (1) 是偶函数，则是偶函数；
   

   (2) 是奇函数，是偶函数，则是偶函数；
   

   (3) 是奇函数，是奇函数，则是奇函数.
   

4. 周期性

   设函数 f(x) 的周期为 T，则 f(ax+b) 的周期为 .

   f(x)关于直线 x=T 对称的充要条件是：f(x)=f(2T-x).

   对于复合函数，若

   是周期函数，则也是周期函数.

   比如：

5. 齐次性

   若，则称
   

             
   

   为次齐次函数.
   

   如，就是3次齐次函数.

四、初等函数

以下五种函数称为基本初等函数，在高等数学中具有极其重要的意义. 对其各种性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点、有界性等)必须彻底搞清楚.

1. 幂函数：

2. 指数函数：

3. 对数函数：

4. 三角函数：

5. 反三角函数：

由以上五种函数和常数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数称为初等函数. 初等函数是高数主要的讨论对象.

五、常用公式

1. 等比数列前 n 项和

   

2. 换底公式

   

3. 二项式定理

   

4. 点我查看三角函数公式

5. 其他恒等式

   

   

   

   

   

   

例题精选

说明：部分试题源于1987~2016考研真题.

例1  已知  则 ____，其定义域为____.

例2  设 f(x) 满足 且  求

例3  设

则____.

例4  已知 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，则 f(x) 是____函数. （奇或偶）

例5  设 f(x)，g(x)，h(x) 是实数上的单调增加函数，且

证明：

例6  函数 y = x - [x] 是____.

        A.  无界函数            B.  单调函数

        C.  周期函数            D.  偶函数

例7  求的反函数.

提示：

         

答案

1.  

2. 

3. 

4. 奇函数

5. 略

6. C

7. 

视频解析

考研真题

说明：(1990,1)表示该题为1990年数学一硕士研究生入学考试试题.

1.  (1990,1/2) 设函数

则____.

2.  (1992,4) 已知 则____的定义域为____.

3.  (1988,1/2) 已知 且 则 ____，其定义域为____.

4.  (1992,2) 设

则____.

5.  (1997,2) 设

则____.

6.  (2001,2) 设

则____.

7.  (1987,2) 是____.

(A)  有界函数        (B)  单调函数

(C)  周期函数        (D)  偶函数

8.  (1990,3/4) 设函数, 则 是____.

(A)  偶函数          (B)  无界函数

(C)  周期函数      (D)  单调函数

答案

1. 1

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 1

7. D

8. B