三角函数值：一个简单中学数值问题的思考，数学就是这么有趣

大家是否还记得在中学时，学到三角函数，每人会领到一个黄本本。这本书可以帮助我们去计算任意角度的三角函数值。用法非常简单，大家一般也没有什么疑问。

后来帮一中学生辅导数学，当时讲到了三角函数。这熊孩子问了一个问题，他说：”这特殊角度的值可以直接记住，可这个表里面所有的角度的值最早是怎么算的呀！”。我没有想到他会问这样的问题，因为答案不是那么简单，已经超出了他这个阶段所学的知识。肯定会有人说，这个简单啊！拿计算器算啊！有这样想法的同学可以直接领盒饭了 ，呵呵。这里就给大家讲一下，任意角度的三角函数值是如何计算的。

布鲁克-泰勒

学过高等数学都知道一个很重要的公式----泰勒公式：

泰勒公式简单来说就是可以将一个f(x)的函数，表达为(x-x0)的n次多项式连加。因为n的取值是无穷，所以这个公式就是无限逼近效果。另外要想公式成立，还要保证函数f(x)在x0处具备n阶导数，只要满足这个条件，X0的任意改变，只是会影响每项系数而已。

如果把X0=0带入公式，将会演变成这样：

这就是很有名的麦克劳林公式，很显然我们的三角函数sinx在x=0的时候都存在n阶导数。这样就可以使用公式展开（这里只重点说sinx，其他三角函数都一样）如下。

这是个无穷项，而在工程数学上，我们是需要一个数值的。因为前3项所占的比重非常大，一般取前3项就可以保证常用的有效精度，需要注意的是x的角度要用弧度来计算。

得到这个数值公式，我们可以完全将任意sinx的值计算出来，以此类推，其他三角函数自然不再话下。而中学的三角函数查表就是通过这样得到的（问题讨论并没有结束，函数表还具备精度补偿功能，这个下章会就这个问题来做解答）。

最后在说一下，聪明的同学肯定想到，用程序实现这个计算不更加如鱼得水了，没错，我们常用的C语言三角函数数学库以及Matlab计算都是基于这个公式（精度根据需求来定）。好了，看完这篇文章，你们也可以编写一个属于自己的三角函数数学库了。