3．4　实际问题与一元一次方程

大廉儿 2016-12-15

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第1课时　实际问题与一元一次方程(一)

1．会解决有关配套问题．

2．会解决与工作效率有关的工程问题．

3．会从实际问题中抽象出数学模型，并体会其中蕴藏的等量关系．

从题中找“配套问题”和“工程问题”的等量关系．

在与工作效率有关的工程问题中建立等量关系，并根据题意列出方程．

一、创设情境　明确目标

解下列方程：

(1)6(2x－1)＝8(5x＋1)；

(2)4(x－1)－1＝6(2x＋1)；

(3)4(3y＋12)＝2－3(5y－7).

二、自主学习　指向目标

自学教材100至101页，完成下列问题：

1．某车间生产螺钉和螺母，若1个螺钉需要配2个螺母，则m个螺钉与n个螺母之间的等量关系为__2m＝n__．

2．工作总量，工作效率，工作时间三者之间的关系为__工作总量＝工作效率×工作时间__．

3．一件工作，甲单独完成需要m天，则一天完成总量的__m(1)__；乙单独完成需要y天，则乙一天完成总量的__y(1)__；甲、乙合做，一天完成总量的__m(1)＋y(1)__，需要__y(1)__天完成．

三、合作探究　达成目标

　配套问题

活动一：阅读教材第100页，例1

分析：本题属于哪一类型的应用题？相等关系是什么？应怎样设未知数？

解答过程见教材第100页例1的解答过程．

【展示点评】如果设x名工人生产螺母，可以列方程：2000x＝2×1200(22－x)．

【小组讨论】列方程解配套类问题时，常用的相等关系是什么？

【反思小结】解决配套问题时，一般用“配套的物品之间具有一定的数量关系”作为列方程的依据．

【针对训练】见“学生用书”．

　工程问题

活动二：阅读教材第100页例2，思考：

这里可以把总工作量看作单位1，人均效率(一个人做1 h完成的工作量)为________，由x人先做4 h，完成的工作量为________，再增加2人和前一部分人一起做8 h，完成任务的工作量为________________，这项工作分两段完成任务，两段完成任务的工作量之和为______________________．

【展示点评】这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系考虑问题．

【小组讨论】解决工程类问题常用的公式及相等关系是什么？

【反思小结】本题中计算工作量的基本公式：工作量＝人均效率×人数×时间，解决工程问题一般用“各部分工作量的和＝工作总量”这一等量关系．

【针对训练】见“学生用书”．

四、总结梳理　内化目标

1．在解决配套问题时的相等关系．

2．在解决工程问题时的相等关系．

3．用一元一次方程解决实际问题的基本过程．

五、达标检测　反思目标

1．一项工作，甲单独完成要12 h，乙单独完成要24 h，则甲工作1 h可完成这项工作的12(1)，乙工作1 h可完成这项工作的24(1)，甲乙合作__8__ h可完成这项工作．

2．理整一批图书，由一个人做要60 h完成．现在计划由一部分人先做3 h，再增加两人和他们一起做6 h，完成这项工作的一半．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作？

解：设安排x个人先工作，列方程得：

60(3x)＋60(6（x＋2）)＝2(1)　解得：x＝2

答：应先安排2人工作3 h，再增加2人工作6 h.

3．要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身两个，或者做盒底盖3个．如果一个盒身和两个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请设计一种分法．

解：设用x张白卡纸做盒身，列方程得：

3(20－x)＝4x　解得：x＝87(4)

答：可用8张做盒身，11张做盒盖底，还有一张裁出一个盒身和一个盒底．

六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．

第2课时　实际问题与一元一次方程(二)

1．会分析盈亏中的数量关系，并能正确列出方程．

2．熟悉销售问题中主要的数量关系，探索销售中的利润问题、打折问题等．

利用盈亏问题中的等量关系，列方程．

分析数量关系，找出可以作为列方程依据的相等关系．

　(设计者：　　　)

一、创设情境　明确目标

一件衣服，按进价加价50%销售，后因季节原因，又降价50%销售，此时卖一件衣服商家是亏还是赢，还是不亏不赢？

你能猜想出商家在这次销售中的盈亏吗？为什么？

二、自主学习　指向目标

自学教材102页的探究1，完成下列问题：

1．利润

(1)利润＝售价－__进价__＝__利润率__×进价；

(2)利润率＝（进价）(（利润）)×100%；

(3)打x折的售价＝标价×10(（ x ）).

2．某商品原来每件零售价为a元，现在每件降价10%，降价后每件售价是__0.9a__元．

3．某品牌彩电降价20%后，每台售价仅a元，则该品牌彩电每台原价应为__4(5)a__元．

4．某商品按定价的八折出售，售价为14.8元，则原售价是__18.5__元．

三、合作探究　达成目标

　销售中的盈亏问题

活动一：例1　某商店在某一时间内以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%.卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，还是不盈不亏？

【展示点评】本题的相等关系是：衣服的售价－衣服的成本价＝利润．本题中的各个量是：成本价x元，售价60元，利润25%x元和－25%x元．

【小组讨论】“进价、售价、利润”之间的关系是什么？“进价、利润率、利润”之间的关系是什么？怎样利用上述数量关系列出方程？

【反思小结】判断盈亏问题时，应先求出商品的总进价，再与总售价比较，判断是盈利或亏损．特殊的当两件商品售价相同，一件盈利一件亏损，且盈利率与亏损率相等时，则亏损的比盈利的多，所以总体上是亏损的．

【针对训练】见“学生用书”．

　有关打折销售问题

活动二：例2　某商店对一种商品调价，按原价的八折出售，打折后的利润率是20%，已知该商品的原价是63元，求该商品的进价．

【展示点评】打折问题的求解关键是理解“打几折”．如本题“八折”意即10(8)或80%.

【小组讨论】“原价(标价)、售价、折数”之间存在怎样的数量关系？本题的等量关系是什么？怎样设未知数？

【反思小结】本题用的等量关系是：标价×10(折数)(即售价)－进价＝进价×利润率(利润)一般情况下，销售问题中的等量关系是：售价－进价＝利润．

【针对训练】见“学生用书”．

四、总结梳理　内化目标

1．四个常用公式：

售价＝标价×10(折数)　利润＝售价－进价；

利润率＝进价(利润)　售价＝进价×(1＋利润率)

2．一个常用的等量关系：售价－进价＝利润

五、达标检测　反思目标

1．一件商品标价为a元，打九折后售价为__0.9a__元，如果再打一次九折，那么现在的售价为__0.81a__元．

2．一批校服按八折出售，每件为x元，则这批校服每件的原价为( B )

A．80%x元　　　　　　　　　　　B.80%(x)元

C．20%x元 D.20%(x)元

3．某种品牌的电脑进价为5000元，按物价局定价的9折销售时获利760元，则此电脑的定价为多少元？

解：设此电脑的定价为x元，则

0．9x－5000＝760　解得：x＝6400

答：此电脑的定价为6400元．

4．我们的身边有一些股民，某股民将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利20%，乙种股票卖出1500元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？

解：设甲种股票买进x元，乙种股票买进y元，则

1500－x＝20%x　　1500－y＝－20%y

解得：x＝1250　　　　　　y＝1875

因此：(1500＋1500)－(1250＋1875)＝－125

所以本次交易是亏损的．

六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．

第3课时　实际问题与一元一次方程(三)

1．能解决球赛积分问题．

2．通过球赛积分问题的探索，明确用方程解决问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际意义．

通过探索球赛积分表中的数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型．

掌握从图表中获取信息的方法，把实际问题转化为数学问题．

　(设计者：　　　)

一、创设情境　明确目标

我们都喜欢打篮球，你们知道篮球比赛胜一场积多少分，负一场积多少分吗？我们今天就来讨论与球赛积分有关的问题．

二、自主学习　指向目标

自学教材第103页的探究2，完成下列问题：

1．比赛总场数＝胜场数__＋__平场数__＋__负场数；比赛总积分＝胜场积分＋__平场积分__＋__负场积分__．

2．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，其中负了5场，共得19分，那么这个队胜了( C )

A．3场　　　　　B．4场　　　　　C．5场　　　　　D．6场

3．一次数学竞赛共15个选择题，选对一题得4分，选错一题倒扣2分，小明同学做完了全部题目，得42分，设他做对了x道题，则可列方程为__4x－2(15－x)＝42__．

三、合作探究　达成目标

　利用一元一次方程解决球赛积分问题

活动一：阅读教材第103页“探究2”，相互交流思考下面的问题：

(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；

(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？

【展示点评】观察积分榜，从最下面一行数据可以看出：负一场积1分．设胜一场积x分，从表中其他任意一行可以列方程，由第一行得10x＋4＝24，求出x＝2.

(1)如果一个队胜m场，则负(14－m)场，胜场积分为2m，负场积分为(14－m)．

总积分为：2m＋(14－m)＝m＋14

(2)假设2m＝14－m，则m＝3(14).

想一想：m是什么量？它可以是分数吗？由此得到什么结论？

因为比赛场次不能为分数，所以胜场总积分不可能等于负场总积分．

【小组讨论】解决球赛积分问题，常用的等量关系有哪些？

【反思小结】(1)比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数．(2)比赛总得分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分(或减去负场扣分)．

【针对训练】见“学生用书”．

【反思小结】用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．

四、总结梳理　内化目标

1．两个等量关系：比赛总场数＝胜场＋平场＋负场；胜场得分＋平场得分＋负场得分＝总积分(或各分量之和＝总量)．

2．解决有关图表信息问题．

3．解方程检验的意义．

五、达标检测　反思目标

1．郑逸是学校的篮球明星，在一场篮球比赛中，他一人得了23分，如果他投进的2分球比3分球多4个，那么他一共投进了__7__个2分球．

2．暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，勇士队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？

解：设此队胜x场，平(12－x－2)场，则

3x＋(12－x－2)＝22　解得：x＝6

答：此队胜6场，平4场．

3．下表是某赛季全国男篮甲A联赛常规赛部分队最终积分榜：

序号	队名	比赛场次	胜场	负场	积分
1	辽宁盼盼	22	12	10	34
2	八一双鹿	22	18	4	40
3	浙江万马	22	7	15	29
4	沈阳雄师	22	0	22	22
5	北京首钢	22	14	8	36
6	山东润洁	22	10	12	32

(1)请按积分排名，用序号表示__2－5－1－6－3－4__；

(2)由上表中可以看出，负一场积__1__分，由此可以计算出胜一场积__2__分；

(3)如果一个队胜m场，则负__(22－m)__场，胜场积__2m__分，负场积__(22－m)__分，总积分为__(22＋m)__分；

(4)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍吗？

解：设某队胜场总积分等于负场总积分的3倍，则2m＝3(22－m)　解得：m＝5(66)

因为m为正整数，所以不合题意，则某队胜场总积分不能等于负场总积分的3倍．

六、布置作业　巩固目标

课后作业　见“学生用书”．

第4课时　实际问题与一元一次方程(四)

初步理解分段讨论问题，体会分类思想和方程思想．

探究电话计费问题转化成数学方程的思想方法．

在电话计费中，能理解并准确的划分时间t的取值范围．

　(设计者：　　　)

一、创设情境　明确目标

有四位同学到营业厅办理电话计费业务，营业员向他们出示了如下表两种移动电话计费方式：

月使用

费/元

主叫限定

时间/min

主叫超时费

/(元/min)

被叫

方式一

150

0.25

免费

方式二

350

0.19

免费

如果他们四人的平均每月通话时间为80 min、200 min、280 min和360 min.他们如何选择计费方式才更合适？你是如何思考的？请你通过计算帮他们选择合适的计费方式．

二、自主学习　指向目标

自学教材第104至105页，完成下列问题：

阅读教材第105页，根据理解的意思，用自己的话回答下面的问题．

1．方式一中“月使用费58元”的意思是：主叫时间不超过150_min时承担的固定收费58元．

2．方式一中“主叫限定时间150 min”是指：__主叫时间小于或等于150_min__．

3．方式一中“主叫超时费，每分钟0.25元”是指__主叫时间大于限定时间时，每分钟0.25元．

三、合作探究　达成目标

　用一元一次方程解决“电话计费”问题

活动：阅读教材第104页探究3：

思考：你了解表格中这些数字的含义吗？选择更省钱的计费方式与哪个量有直接关系？应该如何将t的取值进行分类？

【展示点评】(1)设一个月内用移动电话主叫为t min(t为正整数)，列表说明：

当在不同的时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计算：

主叫时间t/min	方式一计费/元	方式二计费/元
t<150
t＝150
150<t<350
t＝350
t>350

(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．

①当t≤150时，按方式一的计费少．

②当t从150增加到350时，按方式一的计费由__58__元增加到__108__元，而按方式二的计费一直是__88__元．因此，当150<t<350时，可能会出现两种计费相等的情况，列方程：__58＋0.25(t－150)＝88__；解得__t＝270__，因此，如果主叫时间恰是__270__min，两种计费都是88元；如果主叫时间大于150min且小于270min，按__方式一计费少__；如果主叫时间大于270min且小于350min，按__方式二计费少__．