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高中数学的教学目的之一，就是要培养学生解决实际问题的能力，要求学生会提出、分析和解决带有实际意义或相关学科、生产、生活中的数学问题，使用数学语言表达问题，形成应用数学能力。高中数学新教材在每章开头的序言，问题引入，例、习题，“实习作业”和“研究性课题”中都编排了大量的应用问题，说明了新教材对数学应用问题的高度重视。 但是谈到学生的数学应用能力培养，这是一个比较大的话题，在这里，我只想谈一下如何提高学生“破题”能力的问题。 学生之所以惧怕做应用题，一个重要原因就是读不懂题意，不能从错综复杂的文字表述中提取有用信息，建立数学模型。我教育学生，做一道数学应用题就好像是一名爆破手要去攻克一座碉堡，这需要勇气和策略，不能蛮干，首先要选准一个突破口进行重点攻击，然后再实施全面爆破。如果成功，你攻下的将不仅仅是一座碉堡，你甚至可能赢得整场战争（一次模拟考试甚至是高考）。学生的积极性一下子就被调动起来，个个摩拳擦掌，跃跃欲试。下面以此题为例说明爆破过程。 《文汇报》载，举世瞩目的上海磁悬浮列车工程3月2日隆重开工。该工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长35km。该工程将于2003年建成运行。磁悬浮列车运行时悬浮于轨道上面，没有轮轨摩擦，没有粘着极限速度限制，因此平稳舒适、安全无噪声。它可以实现全自动化中间不停留运行，启动后39秒即可达到最大速度，最高时速已达550km/h。据德国科学家预言，到2014年，采用新技术的磁悬浮列车的时速将达到1000km/h。现假设上海磁悬浮列车每小时使用的能源费用(千元)和列车速度(km/h)的立方成正比。当速度是100km/h时，它的能源费用是每小时0.04千元，其余费用(不论速度如何)都是每小时40.96千元。求列车试运行时，完成全程路线所需的总费用与车速的函数关系，并问车速为多少时，运行的总费用最低？ 我指导学生破题时按以下几个步骤进行： 第一步：分清主次，去粗存精 首先删除掉关于形势的修饰语，实际上前3行文字基本都是没有用的，这样学生可以发现本题实质上就是我们非常熟悉的路程与速度问题。本题的着眼点在于列车运行时，完成全程路线所需的总费用与车速的函数关系。 教师点评：这是一道紧扣时代脉搏的应用题，所包含的情景、数量关系等就像一篇内容丰富的短文，文字多是实际应用问题的一大特点，而很多学生一看到大量的文字叙述时，心中便望而却步，退避三舍，其实应用题的很多文字是介绍背景的，与解题没有多大关系。本题文字多，数据多，且有专业术语（磁悬浮，轮轨摩擦，极限速度等），数量关系错综复杂，如果不能理顺其中的关系，学生可能会无从下手 第二步：重点攻击，扫除障碍 进一步读题，充分挖掘已知条件，理解题意，寻找突破口。本题中，依题意首先要明确三点：1、列车运行的总费用由两部分组成，即能源费用及其余费用。2、为了求出能源费用，还必须求出列车每小时使用的能源费用与列车速度的立方成正比的比例系数。3、要注意实际背景下的函数定义域，以获得具有实际意义的答案。 其中首先要解决的是能源费用(千元)和列车速度(km/h)的立方成正比这个条件中的比例系数问题，这个问题，学生基本上都能独立解决。 教师点评：在完成第一步的基础上，就应像分析短文一样达到对重点字、词、句的理解，即重点攻击、扫除题中障碍，对重点、有疑问的术语进行细细推敲，慢吞细嚼，阅读时不只是停留在文字上的理解，还要懂得挖掘其内涵和外延，达到重点攻破，而有些题中的一些陌生术语没有注释，只起一个“障眼法”的作用，出题者的本意是扰乱学生视线，因此，学生也没有必要耿耿于怀，绞尽脑汁想理解其意，其实这些没有注释的术语往往不影响解题，所以，学生想进一步深入应用题的时侯不要妄图“全面爆破”，而应选择“重点攻击”。 第三步：建立模型，全面爆破 基于以上分析，设出相应的变量，列出函数关系式。可设能源费用每小时是q千元，车速是vkm/h，依题意有q=kv3(k为比例系数)，将v=100，q=0.04代入得k=4X10-8。于是有q=4X10-83。由此得到列车从甲地行驶到乙地，所需的总费用为 y=4X10-8 v 3X35/ v +40.96X35/ v 又由实际情况可知，上式中的v是有限制的：0＜v≤550，我们可以证明函数f(v)在定义域(0，550)上是单调递减的(证明略)。故车速为550km/h时，运行的总费用最低。 教师点评：完成以上两个环节后，学生要将理解的文字语言转化为数学语言，将题目的情景、已知、未知、求解在大脑中用数学语言进行再现，将问题简单化，尽量将问题转化成一个比较熟悉而又简单的数学问题，并将问题中的数量关系用字母符号表示出来，需要的时候，可画出简单的示意图、列表、试算，并运用实验、联想、逻辑推理等方法发现问题中的数量关系，并把这些数量关系用掌握的数学知识符号表示出来，使之条理化、系统化，使题目变得形象化、直观化，并进一步找出符合题意的数学模型，是函数型还是方程型或是不等式型或是其他模型或皆而有之，为建立数学模型奠定基础。此时，以“非数学”形式的语言描述的应用问题就转化成一个比较熟悉而且易解的纯数学问题了。 当然，提高学生的破题能力是一个复杂、艰巨、漫长的过程，需要从新生年级一点一滴地培养。 当然，提高学生的破题能力是一个复杂、艰巨、漫长的过程，需要从新生年级一点一滴地培养。（本文作者：魏明亮） |
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