等腰三角形悖论

等腰三角形悖论

2012-12-07

任意△ABC。

先做出∠A的平分线，它与BC的中垂线交于O点，

过点O分别作AB和AC的垂线，垂足为E和D 

∵∠EAO=∠DAO，AO=AO，

△AOD和△AOE均为Rt△ 

即∠AED=∠AFD=90度 

∴△AEO≌△ADO（AAS） 

∴EO=DO，AE=AD。 

∵OH是BC的中垂线 

∴OB=OC（中垂线上的点到这条线段的两个端点的距离相等） 

∵△DOB和△EOC也是Rt△ 

∴Rt△DOB≌Rt△EOC（HL） 

∴DB=CE 

由已证的AE=AD可得 AE EC=AD BD 

即AB=AC 

这就说明△ABC是等腰三角形

 

 

 

同理可得

所有三角形都是等腰三角形！

 

 

提示：

(任何非等腰三角形的角平分线与其对边的垂直平分线一般不可能在三角形内相交）

                      ——《pengxq书斋》

                                            2016-12-22

 

等腰三角形悖论

命题:如果有一个三角形，那么该三角形为等腰三角形。

论证:在△ABC中，E是∠A的角平分线和BC垂直平分线的交点，EF，EG是垂直于边AB，AC的垂足是F，G.容易得到△AEF≌△AEG(ASA)，△EFB≌△EGC(HL).所以有AF=AG，BF=CG，所以有AB=AC，三角形ABC是等腰三角形了!

这个结论肯定是错误的，因为很容易作出一个三条边长分别为3，4，5的三角形，利用反证法即可推翻该悖论，它当然不是等腰三角形，而我们的结论却说这样一个三角形也一定是等腰的。那么，错误出在哪里呢?

问题在于:E点的位置一般来说总在△ABC的外面(且在非等腰三角形中得到的两条线段一个是加一个减，必定不相等)而不是它的里面。可见正确作图也可以帮助我们理解许多问题。

说明:在△ABC中，D是∠A的角平分线和BC垂直平分线的交点,由图可知，无论是锐角、直角还是钝角三角形，点D都不在△ABC内。

现在，这条悖论就不攻自破了。