万变不离其“中” ——从近几年高考圆锥曲线解答题谈起

2016-12-26  许兴华数学

万变不离其“中”——从近几年高考圆锥曲线解答题谈起

文/王强芳(南宁三中)(责编:许兴华)


年年岁岁题不同,岁岁年年题相似,近几年高考圆锥曲线解答题尽管形态万千,而且设计的形式也不同,但是似乎都是与中点弦有关。关于中点弦问题除了可以用韦达定理,中点公式之外,中点弦有如下重要性质:

上面几个性质在解决中点弦问题中应用广泛,下面从2013年到2016年的全国高考圆锥曲线试题来探讨圆锥曲线问题的复习的对策。

这是2014年全国高考题第21题,(1)的答案为:抛物线y^2=4x.第(2)问的命题意图主要考查直线与圆锥曲线的位置关系问题。具体是利用四点共圆问题的条件求直线l的方程.

常规思路为:

解:依题意知与坐标轴不垂直,故可设直线l的方程为x=my+1,

该题给我们的表面印象是两条直线AB,MN与抛物线的相交关系问题,它是可以利用直线的垂直关系、韦达定理、弦长公式等基本方法就能解决的一个常规问题,但是计算量很大,一般学生无法完成。其实,问题的背景是,两条相交直线与一个二次曲线相交于四个点,当这四点共圆时,求所满足的条件。它的目的是从不同的层次考查学生的思维能力。如果了解问题的背景,解答十分简单!

其实,本题中第(2)中,MN不是AB的中垂线也有相同的结果,只要MN垂直于AB时,答案是一样的,但是为什么命题人将MN设为AB的中垂线呢?我认为主要是从试题设计的难度考虑的,因为如果MN不是AB的中垂线,很难利用常规方法求出AB的方程。这就是为什么我们强调通法的原因。但事实上只要知道MNAB成的角,同样可以求得的方程,但是难度过大,体现不了区分度,不利于高考的选拔功能罢了。

解法4(利用直线的参数方程):设直线lC的两个交点A,B的中点为

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

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解2:因为直线AB过焦点F,直接利用抛物线焦点弦

的性质得ab=-1,以下同解1.

(2)解1.(利用韦达定理)设



评析本题考查抛物线的定义与几何性质,主要考查焦点弦和中点弦问题,

第(1)问考查了抛物线的焦点弦性质


第(2)问考查直线与抛物线相交的中点弦问题,但是命题人避开了常规的设问,题目的设计用两个三角形的面积关系掩盖了直线AB过定点这一重要条件,使得题目难度增大,当了解这个背景后(发现这一点很关键!),求AB的中点轨迹的方程就变得很简单了,它可以用点差法直接计算得结果。四种解法中,解4是命题人了解背景情况下的简单方法,解3是利用行列式快速表示三角形面积,然后发现直线AB过定点,解2是常规方法中利用直线过定点比较容易想到,解法1容易想到,但是运算较解2,解3,解4复杂。

整个题目考查了学生的思维转化能力,利用面积关系发现过定点是难点,它对学生的计算能力有一定的要求,属于中等偏上难度的题目。最后可以将第(2)问总结成一个一般性的问题:

  已知直线过某个定点,与二次曲线相交于两点,求这相交弦的中点的轨迹方程。



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