|
要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥. 请看正三棱锥的定义. 1.底面是正三角形 2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心. 满足以上两条的三棱锥是正三棱锥. 由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形. 要防止和另外一个概念----正四面体混淆. 正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.
在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题. 这是处理问题的方法之一. 适合这种方法的情况可小结如下： ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心. 基本的规律可小结如下： ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. 我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置. 举一个具体栗子来说明. 外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解. 从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上. 再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.
回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗？ 显然，多数情况下是不重合的. 有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢？ 为了回答这个问题，我们作一般化的推导. 若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了. 画出图来是这样滴. 此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径. |
|
|
