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题目：直线  与圆  相交于两个不同点 、 ,当  取不同实数值时，求 中点的轨迹方程.
解决与中点弦的有关问题时，有下列三种常见方法：(1)利用根与系数的关系求出中点坐标； (2)设出弦的两个端点坐标，代入圆的方程得两式，将两式相减，此即为点差法；
(3)利用圆本身的几何性质，即圆心与弦中点的连线与弦垂直.
解法一：  消去y，
得  ,
设此方程的两实数根为  ,  的中点为 ,
由根与系数的关系和中点坐标公式得
,①
∵ 点在直线 上，∴ ,即 .②
将②代入①得 ,
整理得 ,
∴轨迹是圆 位于圆 内的部分弧.
解法二：∵直线 过原点，圆 的圆心为 ,如图所示.
设 的中点为 ,则 ,
∴点 在以 为直径的圆周上，
此圆的圆心为 ,半径为 ，
其方程为 ,
即 .
又∵点 在圆 的内部，
∴轨迹是圆 位于圆 内的部分弧.
解法一是一种通法，解法二充分运用圆的几何性质，即圆心与弦中点的连线和弦垂直.圆的几何性质是简化运算的有力工具.
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