椭圆

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹， 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，它还有其他一些表达形式，如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点。

基本信息

• 中文名：椭圆
• 目前状况：使用中
• 外文名：oval-shaped

• 应用学科：数学、几何
• 几何类别：圆锥曲线
• 表达式：x2/a2+y2/b2=1
• 适用领域范围：几何计算
• 参数方程：x=acosθ，y=bsinθ

相关搜索

椭圆离心率

焦半径公式

双曲线

椭圆标准方程公式

研究历史

阿波罗尼奥斯所着的八册《圆锥曲线论（Conics）》中首次提出了今日大家熟知的 ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）等与圆锥截线有关的名词，可以说是古希腊几何学的精擘之作。

直到十六、十七世纪之交，开普勒（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，是一种以太阳为其一焦点的椭圆。

定义

第一定义

正在加载椭圆

平面内与两定点

、

的距离的和等于常数

（

）的动点P的轨迹叫做椭圆。

正在加载椭圆

即：

正在加载椭圆

其中两定点

、

叫做椭圆的焦点，两焦点的距离

叫做椭圆的焦距。

为椭圆的动点。

正在加载椭圆

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为

正在加载椭圆

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为

正在加载椭圆

可变为

第二定义

正在加载椭圆

椭圆平面内到定点

（c,0）的距离和到定直线

：

（

不在

上）的距离之比为常数

（即离心率

，0<1）的点的轨迹是椭圆。>

正在加载椭圆

其中定点

为椭圆的焦点

，定直线

称为椭圆的准线（该定直线的方程是

（焦点在x轴上），或

（焦点在y轴上））。

其他定义

正在加载椭圆

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为

，可以得出：

正在加载椭圆

在坐标轴内，动点（

）到两定点（

）（

）的斜率乘积等于常数m（-1<0）>

正在加载椭圆

注意：考虑到斜率为零时不满足乘积为常数，所以

无法取到，即该定义仅为去掉两个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

方程

中心点为（h，k），主轴平行于x轴时，

正在加载椭圆

标准方程

正在加载F点在X轴

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0)

2）焦点在Y轴时，标准方程为：y2/a2+x2/b2=1 (a>b>0)

椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b2=a2-c2。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx/a2+yy/b2=1。椭圆切线的斜率是：-b2x/a2y，这个可以通过很复杂的代数计算得到。

参数方程

x=acosθ ， y=bsinθ。

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半

极坐标

（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）

r=a（1-e2）/（1-ecosθ）

（e为椭圆的离心率=c/a）