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鸡爪定理：三角形一内角的平分线与其外接圆的交点到其它两顶点的距离及到内心与旁心的距离相等。 如图，△ABC的∠BAC的平分线交其外接圆于D，设E是△ABC的内心，F是∠BAC内的旁心，求证：DB＝DC＝DE＝DF。 鸡爪定理的结论：DB＝DC＝DE＝DF形似鸡爪，故名鸡爪定理。此定理中的结论：DB＝DC＝DE已成为教科书《圆》一章中的一道习题，深受中考数学命题者的青眯，所以是一道很好的中考数学“材料题”。下面笔者和大家交流此定理的分析与证明。 因旁心为三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点（三角形的旁心有三个），内心在内角平分线上，所以A、E、D、F四点在同一直线上。先证明E、B、F、C四点共圆，再证DB＝DC＝DE得D为圆心，从而得DB＝DC＝DE＝DF 证明：∵E为内心，∴BE平分∠ABC，∴∠2＝0.5∠ABC， ∵F为旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF＝0.5∠MBC ∴∠1＋∠CBF＝0.5（∠ABC＋∠MBC）＝0.5×180o＝90o， ∴∠EBF＝90o，同理：∠ECF＝90o， ∴∠EBF＋∠ECF＝180o， E、B、F、C四点共圆。 ∵AD平分∠BAC，且B，D，C三点在△ABC外接圆上，∴DB＝DC。① ∵∠6＝∠1＋∠3，∵∠3＝∠4＝∠5，∴∠6＝∠1＋∠5，∵∠1＝∠2 ∴∠6＝∠2＋∠5，∴DE＝DB。比较①得：DB＝DC＝DE； ∵E、B、F、C四点共圆，∴D为E、B、F、C四点外接圆的圆心， ∴DB＝DC＝DE＝DF，定理得证。 |
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