折叠 编辑本段 基本概述折叠 编辑本段 常用思路折叠 中国古代孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得”。[1] 翻译成算术方法就是： 兔数（94÷2）－35＝12（只） 鸡数35－12＝23 （只） 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。 教学常用假设法 1、鸡兔同笼共80个头，208只脚，鸡和兔各有几只[2]？ 分析： 假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160(只)，比实际少208－160＝48(只) 脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。 解：(208－2×80)÷(4－2) ＝48÷2 ＝24(只)------兔 80－24＝56(只) 答：鸡有56只，兔有24只。 也可以假设80只全是兔，解答如下： 解：(4×80－208)÷(4－2) ＝112÷2 ＝56(只)------鸡 80－56＝24(只) 2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？ 分析： 假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100 (分)，而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15 (分)，看30分里面有几个15分，就错了几题 解：(10×10－70)÷(10＋5) ＝30÷15 ＝2(道)------错题 10－2＝8(道) 答：他做对了8道题。 3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张？ 分析： 假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500 (元)，与实际相差800－500＝300元 差的300元，是因为将10元1张的 (元)，差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。 解：(800－5×10)÷(10－5) ＝300÷5 ＝60(张)------10元面值 100－60＝40(张) 答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张。 方程解法 鸡兔同笼，头15只，脚40只，问鸡和兔子各多少只？ 设鸡为x只，兔为y只。 X+y=15 2x+4y=40 y=15-x 2x+4*(15-x)=40 2x+60-4x=40 60-2x=40 2x=20 x=10 y=5 解得X=10，y=5。 趣解 鸡兔同笼，头15只，脚40只，问鸡和兔子各多少只？ 假设鸡和兔训练有素 吹一声哨，它们抬起一只脚，(40-15=25) 再吹一声哨，它们又抬起一只脚，(25-15=10) 这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着 所以，兔子有10/2=5只，鸡有15-5=10只。 折叠 编辑本段 公式说明折叠 公式1（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数 总只数－鸡的只数=兔的只数 折叠 公式2（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数 总只数－兔的只数=鸡的只数 折叠 公式3总脚数÷2—总头数=兔的只数 总只数—兔的只数=鸡的只数 折叠 公式4兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔 总只数-兔总只数 折叠 公式5（头数x4-实际脚数）÷2=鸡 折叠 公式64×+2(总数－x）=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程） 折叠 编辑本段 抬腿法折叠 方法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。（这种方法最早出自《九章算术》） 折叠 方法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。 折叠 编辑本段 答案详解中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。 现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。 我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。 我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y 那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。 折叠 编辑本段 详细解法基本问题 "鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路. 例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只 解：我们设想，每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是 244÷2=122（只）. 在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数 122-88=34（只）， 有34只兔子.当然鸡就有54只。 答：有兔子34只,鸡54只。 上面的计算，可以归结为下面算式： 总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数 折叠 编辑本段 方程的解法折叠 一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=24÷2 x=12 35-12=23(只） 或 解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。 2x+4(35-x)=94 2x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只） 答：兔子有12只，鸡有23只。 注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，比较好算一些。如：人民币，分数，角的个数等 折叠 二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。 x+y=35 2x+4y=94 （x+y=35)×2=2x+2y=70 (2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24) y=12 把y=12代入（x+y=35) x+12=35 x=35-12（只） x=23（只）。 答：兔子有12只，鸡有23只。 折叠 编辑本段 特殊算法普通的鸡兔同笼问题中，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法. 例1. 如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了 88×4-244=108（只）. 每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以 (88×4-244)÷(4-2)= 54（只）. 说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）. 当然，我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了 244-176=68（只）. 每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚， 68÷2=34（只）. 说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公式 兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）. 上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。 假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"假设法". 现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。 例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？ 解：以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚。 现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式，就有 蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11) =24÷8 =3（支）. 红笔数=16-3=13（支）. 答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。 对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想，脚数是 8×(11+19)=240（支）。 比280少40. 40÷(19-11)=5（支）。 就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝铅笔）数是3. 30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算. 实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数 19×10+11×6=256. 比280少24. 24÷(19-11)=3, 就知道设想6只"鸡",要少3只。 要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子。 例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？ 解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）. 现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了。 根据前面的公式 "兔"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "鸡"数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。 答：甲打字用了4小时30分. 例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟 解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数。25是"总头数".86是"总脚数".根据公式，兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14（岁）. 1998年，兄年龄是 14-4=10（岁）. 父年龄是 (25-14)×4-4=40（岁）. 因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15（岁）. 这是2003年。 答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍. 例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？ 解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。利用公式就可以算出8条腿的 蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6) =5（只）. 因此就知道6条腿的小虫共 18-5=13（只）. 也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式 蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）. 因此蜻蜓数是13-6=7（只）. 答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。 例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？ 解：对2道，3道，4道题的人共有 52-7-6=39（人）. 他们共做对 181-1×7-5×6=144（道）. 由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（(2+3)÷2=2.5).这样 兔脚数=4，鸡脚数=2.5, 总脚数=144，总头数=39. 对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）. 答：做对4道题的有31人。 以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？ 以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。 解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。 4X+2×（88-X）=244 上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。 4X+2×88-2X=244 2X+176=244 2X+176-176=244-176 2X=68 2X÷2=68÷2 X=34 即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。 答：兔子有34只，鸡有54只。 折叠 编辑本段 例题介绍1.大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。问大小油瓶各多少个？ 解：1/2=0.5（千克）4×60=240（千克）240-100=140（千克）140/（4-0.5）=40（个）60-40=20（个） 答：大瓶20个，小瓶40个。 2.班主任张老师带五年级（7）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？ 解：设男生有X人女生有（50-X）人。 3x=120-5-2（50-x）3x=115-2*50+2x3x=115-100+2x3x=15+2xx=1550-15=35（人） 答：男生有15人，女生有35人。 |
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